шарик в чашке

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Не знаю. Я боюсь, что сейчас глупость напишу, но всё равно хочется свои 5 копеек вставить.

Вот есть край чаши --- замкнутая кривая, диффеоморфная окружности и огибающая ось $z$. Предположим, что шарик, отпущенный из любой точки края, не достигает высоты $h$. Тогда точку края будем называть положительной, если шарик, отпущенный из неё, движется в точке максимального подъёма по часовой стрелке и отрицательной, если против.

Ясно, что все точки края одного знака. Может, отсюда надо как-то плясать? И получать противоречие с выпуклостью

Сейчас мы подремонтируем Ваше доказательство.
Очевидно, обобщенные координаты в этой системе можно взять $(x,y)$. Сам вектор я буду обозначать $u=(x,y)$. Через $K$ будем обозначать проекцию края чашки на плоскость $(x,y)$, это гладкая замкнутая кривая. $V(u)$ -- потнциальная энергия шарика в точке $u$.
Пусть $u(t,a)$ -- решение соответствующих уравнений Лагранжа с нулевой начальной скоростью и начальным положением $a\in K$.
Лемма. Функция $V(u(t,a))$ не может стремиться к константе при $t\to\infty$.
Действительно, в противном случае мы получили бы предельный цикл, что невозможно в гамильтоновой системе.

Таким образом функция $V(u(t,a))$ имеет максимумы и минимумы как функция времени.
Дальше мы будем расcматривать только первый максимум, которого функция $V(u(t,a))$ достигает при $t>0$. В этом максимуме вектор скорости либо равен нулю, тогда задача решена, либо параллелен горизонтальной плоскости. В том случае, когда вектор скорости параллелен горизонтальной плоскости и не равен нулю ему можно приписать положительное или отрицательное вращение. (Строго говоря пусть $A$ точка минимума функции $f$. И в точке $B$ задан вектор скорости $v$ Тогда если $(AB,v,e_z)>0$ то вращение положительное.).
Множество $M_+$ по определению состоит из тех точек $a\in K$ для которых скорость шарика,
в момент времени когда $V(u(t,a))$ достигает первого максимума, имеет положительное направление вращения, $M_-$ -- соответственно. По теореме о непрерывной зависимости от начальных данных, множества $M_+$ и $M_-$ открыты. Значит в множестве $K$ найдутся точки не лежащие в $M_+$ и $M_-$. ЧТД

[Профессор Снэйп]

zoo писал(а):

Множество $M_+$ по определению состоит из тех точек $a\in K$ для которых скорость шарика, в момент времени когда $V(u(t,a))$ достигает первого максимума, имеет положительное направление вращения, $M_-$ -- соответственно. По теореме о непрерывной зависимости от начальных данных, множества $M_+$ и $M_-$ открыты. Значит в множестве $K$ найдутся точки не лежащие в $M_+$ и $M_-$. ЧТД

А почему не может быть $M_+=K$ и $M_-=\varnothing$?

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
По сути этот вопрос я и ставил под доказательство.

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

zoo
Можно ссылочку на доказательство того что в гамильтоновой системе нет предельных циклов?

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

zoo писал(а):

Множество $M_+$ по определению состоит из тех точек $a\in K$ для которых скорость шарика, в момент времени когда $V(u(t,a))$ достигает первого максимума, имеет положительное направление вращения, $M_-$ -- соответственно. По теореме о непрерывной зависимости от начальных данных, множества $M_+$ и $M_-$ открыты. Значит в множестве $K$ найдутся точки не лежащие в $M_+$ и $M_-$. ЧТД

А почему не может быть $M_+=K$ и $M_-=\varnothing$?

Да, действительно, ответа на этот вопрос я не знаю. И с леммой я кстати поторопился. Я имел ввиду, что не может быть асимптотически устойчивого периодического решения, но из того, что
$V(u(t,a))\to const$ и не следует, что оно есть. Маху я дал с этой задачей, она гораздо сложнее.Эта задача, если ее решить, кажется на статью тянет в приличном журнале.

[Хет Зиф]

zoo
А вы ее сами придумали?
Тогда может и есть такие поверхности у которых все кромки положительны

Добавлено спустя 2 часа 47 минут 16 секунд:

Мне кажется я придумал контр пример
1) Вначале скажем, что если есть вертикальная ось, и в каждой точки поверхности, проекция силы тяжести на плоскость $xy$ проходит через эту ось то назовем такое поле сил и поверхность центральными. Такие поверхности не буду придавать шарику момент относительно оси. И не будут изменять уже имеющийся момент импульса относительно оси.
2) Очевидно что полусфера, конус, являются центральнымиповерхностями
3) Возьмем конус в основании которого лежит какая-то кривая, (не обязательно окружность).
В проекции на плоскость $xy$ вершина конуса будет точка $O_{1}$ и будет лежать внутри кривой --основания конуса - кромки нашей поверхности. Очевидно что отпущенный шарик, из какой-либо точки основания будет двигаться по прямой - образующей конуса.
4)Усечем наш конус, и продолжим усечение другим конусом вершина которого $O_{2}$ не совпадает с вершиной $O_{1}.$ Переход между конусами можно сгладить. Если шарик влетает во второй конус то у него появляется момент относительно оси $O_{2}$. Момент не появится лишь только в том случае когда изначально шарик двигался по образующей, продолжение которой проходит через обе точки $O_{1}$ и $O_{2}$. Такая образующая существует. Но теперь мы усекаем наш второй конус и появляется точка $O_{3}$. и получается что влетая в третий конуc шарик обязательно будет иметь момент относительно оси $O_{3}$.
5)Дижение же шарика в конусе с определенным моментом представляет собой переодическое циклическое движение, т.е шарик зациклится и останется внизу., при любой начальной точке на кромке первого конуса.

[TOTAL]

Хет Зиф писал(а):

5)Дижение же шарика в конусе с определенным моментом представляет собой переодическое циклическое движение, т.е шарик зациклится и останется внизу., при любой начальной точке на кромке первого конуса.

Шарик не будет двигаться периодически и циклически, он выйдет из третьего конуса снова во второй.
В этой задаче вообще непонятна роль выпуклости поверхности. Как она помогает в доказательстве? Пусть поверхность невыпукла, как именно невыпуклость помешает шарику вернуться на кромку? (Не надо бояться того, что шарик будет якобы прыгать. Не будет он прыгать, задача не по физике. На этот шарик не действуют силы вдоль поверхности, а действует нормальная сила, удерживающая его на заданной поверхности. Или можно считать, что шарик движется в щели между двумя слоями.)

[Хет Зиф]

TOTAL
Хорошо, он выйдет из третьего конуса снова во второй, но у него будет все равно момент импульса относительно осей $O_{1}, O_{2},O_{3} $. И больше вы никак этот момент не погасите!
Зачем вам невыпуклость , если уже для выпуклости есть контр пример?

[TOTAL]

Хет Зиф писал(а):

Зачем вам невыпуклость , если уже для выпуклости есть контр пример?

Кто-нибудь видел этот "контрпример"?

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Хет Зиф писал(а):

Зачем вам невыпуклость , если уже для выпуклости есть контр пример?

Кто-нибудь видел этот "контрпример"?

Я его пробовал читать, но дальше первого пункта не осилил.

Цитата:

Вначале скажем, что если есть вертикальная ось, и в каждой точки поверхности, проекция силы тяжести на плоскость проходит через эту ось то назовем такое поле сил и поверхность центральными. Такие поверхности не буду придавать шарику момент относительно оси. И не будут изменять уже имеющийся момент импульса относительно оси.

На какую плоскость проекция? Плоскость вроде никакую не определяли...

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
На плоскость $xy$. Вообще эта картина сверху выглядит как Вложенные в друг друга кривые, - контура конусов, а внутри всех этих кривых лежат точки $O_{1},O_{2},O_{3}$.

[TOTAL]

Хет Зиф писал(а):

Вообще эта картина сверху выглядит как Вложенные в друг друга кривые, - контура конусов, а внутри всех этих кривых лежат точки $O_{1},O_{2},O_{3}$.

Вид сверху плюс Ваша слепая вера опровергают утверждение. Так много чего можно надоказывать.
Облегчу задачу опровержения. Докажите, что существует вообще какая-нибудь ямка, из которой шарик не выберется на исходную высоту. Ямка гладкая, но совершенно произвольная, даже с потолком и тупиками.

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
На плоскость $xy$. Вообще эта картина сверху выглядит как Вложенные в друг друга кривые, - контура конусов, а внутри всех этих кривых лежат точки $O_{1},O_{2},O_{3}$.

Странно... Как Вы умудрились исправить своё сообщение, не оставив отметки об исправлении? Хакерство какое-то.

Сам же контрпример стал понятен, но выглядит подозрительно. Почему, вращаясь в наклонном конусе, шарик не может выскочить наружу? Энергии у него на это хватит.

К тому же, приделывая к одному конусу другой, Вы нарушаете выпуклость.

Я бы предложил другой контрпример: взять исходный конус с небольшими канавками от краёв к центру, а потом эти канавки немного завращать. Но не уверен на 100 процентов, что это будет работать.

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Тут вот на другом форуме советуют ссылаться на принцип Мопертюи и исследовать в круге какую-то особенную метрику. К сожалению, моих знаний теоретической механики не хватает на то, чтобы это понять.

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Не, на самом деле это у вас наверно глюки с нетом, потому что я вчера изначально там писал $xy$.

Добавлено спустя 1 минуту 52 секунды:

Профессор Снэйп
1) Выпуклость не нарушается, если последующие конусы будут более полгими.
2) Он может выскочить из более нижнего конуса, но попадет в более верхний имея уже момент вращения относительно всех осей $O_{1}, O_{2},O_{3}$.

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Насчет принципа Мопертию, ну по сути они перефразировали формулировку в более математическую форму, не знаю что это упрощает.....

[scorpio]

Хет Зиф писал(а):

2) Он может выскочить из более нижнего конуса, но попадет в более верхний имея уже момент вращения относительно всех осей $O_{1}, O_{2},O_{3}$.

Вот если придать шарику обратную скорость, то он выскочит и попадёт на край, так ведь? Почему же это не произойдёт никаким иным способом?

[Хет Зиф]

Я сейчас понял, я ошибся...