шарик в чашке

[Александр Т.]

zoo писал(а):

Имеется чашка, форма которой задана гладкой функцией $z=f(x,y)\ge 0$ с выпуклым вниз графиком. $(x,y,z)$ -- декартова система координат. Сила тяжести направлена вдоль оси $z$ и противоположна ей. Глубина чашки $h$.
На край чашки ставят шарик (материальную точку) массы $m$ и отпускают без начальной скорости, так чтобы этот шарик соскальзнул внутрь чашки, сил трения нет. Доказать, что на краю чашки имеется точка, при движении из которой, шарик снова поднимится на высоту $h$, т.е. достигнет края чашки. Никаких симметрий чашки не предполагается.

Дополнение к условию по возникшим вопросам:
1) чашка неподвижна
2) линии уровня $f(x,y)=h$ представляют собой замкнутые гладкие кривые в плоскости $(x,y)$ без самопересечений, вложенные друг в друга

1) Означает ли то, что функция $z=f(x,y)$ "с выпуклым вниз графиком", всего лишь то, что "линии уровня $f(x,y)=h$ представляют собой замкнутые гладкие кривые в плоскости $(x,y)$ без самопересечений, вложенные друг в друга" так, что значение функции на вложенной линии уровня всегда меньше, чем на той, в которую она вложена? Или имеется в виду, что (все неравенства строгие)
$ \begin{vmatrix} \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2} & \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{x}\partial{y}} \\ \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{y}\partial{x}} & \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2} \end{vmatrix} > 0 ,\quad \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{x}^2} + \dfrac{\partial^2{f}}{\partial{y}^2} > 0 . $\hspace*{\hfill}(1)

2) Допускается ли возможность отрыва "шарика-материальной точки" от поверхности (вверх)? Или следует считать, как

TOTAL писал(а):

что шарик движется в щели между двумя слоями.

3) Под гладкостью функции подразумевается непрерывность производных только первого порядка?

Я решился задать эти вопросы потому, что меня смутило уточнение "линии уровня $f(x,y)=h$ представляют собой замкнутые гладкие кривые в плоскости $(x,y)$ без самопересечений, вложенные друг в друга". Ведь если условие (1) выполняется (т.е. график функции является локально строго выпуклым вниз в каждой точке), то из него это "уточнение" следует (все линии постоянного уровня не только не самопересекаются, но и выпуклы).

Кроме того, если все же считать, что условие (1) выполняется не для всех точек, а вместо него выполняется более слабое условие, которое я выписал как альтернативу к нему, то на участках поверхности, где условие (1) не выполняется, при исходной постановке задачи (которая хоть и "не по физике", но сформулирована на языке механики) возможен отрыв движущегося шарика (материальной точки) с последующим движением по параболе, ударом по поверхности и отскоком. Тогда необходимо уточнение об условиях отскока, т.е. необходимо уточнить, следует ли считать удар упругим и использовать законы сохранения кинетической энергии и тангенциальной составляющей импульса.

Если же изменить первоначальную формулировку задачи и считать, что шарик скользит без трения между двумя поверхностями и при этом выполняется альтернативное условие, то в этом случае, вроде бы, можно подобрать такую форму поверхностей, что шарик, соскользнув из определенной точки на краю чашки, будет сначала двигаться по некоторой кривой в вертикальной плоскости с точкой минумума и достигнув этой точки минимума перейдет на горизонтальную круговую траекторию, из которой уже на край чашки не попадет. При этом, правда, у поверхности производные второго порядка не будут непрерывны (по крайней мере в одной точке - точке перехода на круговую траекторию). Поэтому я и задал третий вопрос.

[zoo]

Доказать то утверждение, которое я сформулировал в начале ветки по-прежнему не могу. Но есть другое, более простое, оно тоже, как мне кажется, может быть интересным. Может кого-то это натолкнет на мысли по поводу исходной задачи.

Утв. Для любой точки $w\in \{f<h\}$ существует траектория $u(t)$ выходящая с нулевой начальной скоростью из $K$ и такая, что при некотором $t'$ $u(t')=w$.

План доказательства(?). Траектория системы является геодезической в метрике Мопертюи
$\sqrt{(h-f)T}ds$. Эта метрика порождает полуметрическое пространство в множестве $\{f\le h\}$.
Полуметрическое оно потому, что на $K$ эта метрика вырождается и расстояние между любыми двумя точками множества $K$ равно нулю. Предлагается произвести соответствующую факторизацию и получить многообразие без края ($S^2$) на котором метрика Мопертюи невырождена, а все точки множества $K$ превратились в одну точку. Утверждение теперь следует из того, что на компактном односвязном многообразии без края любые две точки можно соединить геодезической.