равномерная непрерывность и условие Липшища

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1178434 писал(а):

и тогда под корнем будет отрицательное значение

Ну и что? Корни положительной нечетной степени нормально определяются для всего $\mathbb{R}$.

Aiyyaa в сообщении #1178434 писал(а):

график функции не является непрерывным

Термин "непрерывный график" общепринятым, по всей видимости, не является (я кажется впервые вижу его здесь). Можете привести определение?

Aiyyaa в сообщении #1178434 писал(а):

то есть отображение $F_2$ является равномерно-непрерывным?

Нет, про $F_2$ еще вообще ничего не доказали.
(его конечно можно представить как сумму конечномерных линейных, для которых равномерная непрерывность очевидна - но тогда еще придется возиться с бесконечной суммой потом, что сложнее, чем с конечной)

Aiyyaa в сообщении #1178434 писал(а):

то есть приращение функции пропорционально приращению аргумента

Как вы ухитрились дойти до функциональных пространств, не зная, что такое линейная функция?

Aiyyaa в сообщении #1178434 писал(а):

Я не знаю, как её проанализировать.

Печально. С учетом того, что чисто из таймингов вы думали над этим меньше часа - подумайте еще.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1178437 писал(а):

Термин "непрерывный график" общепринятым

я имею в виду что это отображение не является непрерывным, например, на промежутке $x \in (3.14;6.28)$ функция вообще не определена, по крайней мере ни одна мaтематическая программа не рисует график на этом отрезке.

[Lia]

Aiyyaa

Aiyyaa в сообщении #1178460 писал(а):

я имею в виду что это отображение не является непрерывным,

Вы о равномерной непрерывности какой функции и на каком множестве сейчас?

[Aiyyaa]

я имею в виду функцию $f=\sqrt[5]{x^2\sin x}$

[Lia]

Так, хорошо. И чем плоха точка $3\pi$ для этой функции? Она входит в Ваш интервал. Подставьте.

$\dfrac 72\pi$ -- подставьте. Еще что-то - подставьте.

Ей-богу, это не лучшая идея, решать довольно серьезные задачи с третьего курса, одновременно наверстывая школьные пробелы.

[Aiyyaa]

в точке $3 \pi$ будет ноль, так как синус будет равен нулю.

[Lia]

А кто говорит - графика нет? Область определения найдите. Полностью. Как в школе учили.

[Aiyyaa]

Lia в сообщении #1178470 писал(а):

Область определения найдите.

ясно, функция определена на всей $R$.

[Lia]

Почему Вам ясно? Найдите, именно найдите.

[Aiyyaa]

при $x=\dfrac 72\pi$ $f=-24$ приближённо, мне понятно, что функция определена на всей $R$, так как корень нечётной степени извлекается из любого числа.

-- 19.12.2016, 23:45 --

mihaild в сообщении #1178427 писал(а):

Теперь надо проанализировать $F_2: F_2x = (0, 0, \frac{x(1)}{2}, \frac{x(2)}{3}, \ldots)$. Тут свести к конечномерному случаю не получится, т.к. образ бесконечномерен, но зато функция линейна.

функция ставит в соответствие первым двум числам $x(1) , x(2)$ нули, и каждому числу $x(n), n \geqslant 3$ ставит в соответствие число $\frac{x(n-2)}{n-1}$, я не знаю, что сказать об этой функции так как $x(n)$ может быть равна нулю, а отображение $(F_2x)(n)$ не обязательно может быть равно нулю, если $x(n-2)$ не равно нулю, то отображение не будет равно нулю, и наоборот, прообраз может не быть равен нулю, а образ будет равен нулю. Поэтому я не знаю, как проанализировать эту функцию. То есть вид отображения $F_2$ зависит от того, какие элементы содержатся в последовательности $x \in l_2$.

[mihaild]

Mikhail_K в сообщении #1175052 писал(а):

Важно то, что $F_1$ действует сразу на всю последовательность (и превращает её в другую последовательность, лежащую уже в $l_1$), а не на какие-то отдельные члены этой последовательности.

Aiyyaa в сообщении #1178476 писал(а):

функция ставит в соответствие первым двум числам $x(1) , x(2)$ нули, и каждому числу $x(n), n \geqslant 3$ ставит в соответствие число $\frac{x(n-2)}{n-1}$,

Разберитесь, пожалуйста, что такое пространства $l_1$ и $l_2$, и что такое функции на них.

[Aiyyaa]

ну можно сказать, что каждому элементу последовательности $x(n)$ ставится в соответствие $Fx(n)=\frac{x(n-2)}{n-1}$ , просто в первых двух случаях эти элементы равны нулю.

[mihaild]

Сказать можно много чего. Вопрос в том, как определяется$F_2$, что такое линейное отображение, и почему непрерывное линейное отображение равномерно непрерывно.
Обычно, когда говорят "каждому $x$ ставится в соответствии $y$", подразумевается что все $x$ из некоторого множества, и мы определяем функцию на нем.

[Aiyyaa]

$F_2$ это отображение ставящее в соответствие каждому элементу $x(n)$ из последовательности $x \in l_2$ элемент $F_2(x(n))=\frac{x(n-2)}{n-1} \in l_1$,но так как нумерация элементов последовательности начинается с единицы, то вместо двух первых элементов ставятся нули, то есть $F_2=(0,0,\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$.

mihaild в сообщении #1178495 писал(а):

что такое линейное отображение

это отображение, удовлетворяющее условию линейности, то есть :
$F_2(x+y)=F_2(x)+F_2(y)$;
$F_2(\alpha x)=\alpha F_2(x)$;

[Mikhail_K]

Aiyyaa в сообщении #1178499 писал(а):

$F_2$ это отображение ставящее в соответствие каждому элементу $x(n)$ из последовательности $x \in l_2$ элемент $F_2(x(n))=\frac{x(n-2)}{n-1} \in l_1$

Вы очень неправильно формулируете.
$F$, $F_1$, $F_2$ НЕ ставят в соответствие каждому элементу последовательности какой-то другой элемент, как это пишете Вы.
Эти отображения ставят в соответствие СРАЗУ ВСЕЙ последовательности $x$ со всеми её членами $x(n)$ какую-то другую последовательность ($Fx$, $F_1x$ или $F_2x$) - тоже, сразу со всеми членами.

Вот так писать

Aiyyaa в сообщении #1178493 писал(а):

каждому элементу последовательности $x(n)$ ставится в соответствие $Fx(n)=\frac{x(n-2)}{n-1}$ , просто в первых двух случаях эти элементы равны нулю.

очень неправильно - потому что Вы же сами видите, что $Fx(n)$ зависит не от $x(n)$, а очень даже от $x(n-2)$. Поэтому нельзя говорить, что именно элементу $x(n)$ ставится в соответствие элемент $Fx(n)$. Можно говорить только так: всей последовательности $x$ ставится в соответствие вся последовательность $Fx$ - потому что, как только мы знаем все члены последовательности $x$, мы можем подставить их в формулу и найти все члены последовательности $Fx$.

Кроме того, вот эта запись:

Aiyyaa в сообщении #1178499 писал(а):

$F_2(x(n))=\frac{x(n-2)}{n-1} \in l_1$

вообще бессмысленна. Один элемент последовательности не может лежать (или не лежать) в $l_1$. Там может лежать только вся последовательность $F_2x$, как единый объект.

-- 20.12.2016, 07:21 --

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1178468 писал(а):

Ей-богу, это не лучшая идея, решать довольно серьезные задачи с третьего курса, одновременно наверстывая школьные пробелы.

А собственно, почему не лучшая?
Видимо, до сих пор не было мотивации навёрстывать школьные пробелы. Типа, ну есть какие-то пробелы, и пусть будут дальше.
И если такая мотивация появилась в процессе решения серьёзной задачи с третьего курса - то это замечательно.