2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение14.12.2016, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
Aiyyaa в сообщении #1176812 писал(а):
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in \mathbb{R}: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|g(x) - g(y)\right| < \varepsilon$
Не совсем правда. $x$ и $y$ принадлежат области определения $g$, которая не обязательно как-то связана с $\mathbb{R}$.

Теперь докажите, что $\|F_1 x - F_1 y\| \leqslant |f(x(1)) - f(y(1))|$, что $\|x - y\| \leqslant |x(1) - y(1)|$ для $x, y \in l_2$, и из этих двух утверждений и равномерной непрерывности $f$ выведите равномерную непрерывность $F_1$ (цепочкой неравенств, без непонятных переходов "значит так").

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение14.12.2016, 21:29 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1176921 писал(а):
Теперь докажите, что $\|F_1 x - F_1 y\| \leqslant |f(x(1)) - f(y(1))|$

по определению нормы в $l_1$
$||F_1x-F_1y||=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_1(x(n))-F_1(y(n))|=|f(x(1))-f(y(1))|$
и значит
$|f(x(1))-f(y(1))| = |f(x(1))-f(y(1))|$;

mihaild в сообщении #1176921 писал(а):
$\|x - y\| \leqslant |x(1) - y(1)|$

по определению нормы в $l_2$
$||x-y||=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|}$;
но что дальше, я не знаю, потому что последовательности $x$ и $y$ могут быть любыми, так как они не заданы.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение14.12.2016, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
Aiyyaa в сообщении #1177006 писал(а):
но что дальше, я не знаю
Ничего. Тут очевидная опечатка у меня: должно было быть $\|x - y\| \geqslant |x(1) - y(1)|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение14.12.2016, 23:47 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1177013 писал(а):
должно было быть $\|x - y\| \geqslant |x(1) - y(1)|$

то есть мне нужно доказать это неравенство:
$ \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2} \geqslant |x(1) - y(1)|$?
я не знаю, как его доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение15.12.2016, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
:facepalm: Ну подумайте. Если бы сумма слева была конечной, получилась бы простая задача для 8го класса.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение15.12.2016, 00:17 


14/04/15
187
мне нужно доказывать это неравенство:
$ \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2} \geqslant |x(1) - y(1)|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение15.12.2016, 00:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4858
Да. А распишите сумму в виде слагаемых, чтобы Вам было проще увидеть.

Например,
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty x(n)=x(1)+x(2)+x(3)+\ldots.
$$
А Ваша сумма как распишется?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение15.12.2016, 00:30 


14/04/15
187
$ \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2} =\sqrt{|x(1)-y(1)|^2+|x(2)-y(2)|^2+|x(3)-y(3)|^2+...}$

-- 15.12.2016, 00:57 --

$  \sqrt{|x(1)-y(1)|^2+|x(2)-y(2)|^2+|x(3)-y(3)|^2+...} \geqslant |x(1) - y(1)|$
это неравенство является верным, потому что тут сумма модулей, которые всегда являются неотрицательными, и если предположить, что $x(n)=y(n), n \geqslant 2$, то неравенство превращается в тождество:
$  \sqrt{|x(1)-y(1)|^2} = |x(1) - y(1)|$;
а в случае, если $x(n) \ne y(n), n \geqslant 2$, то из того что к слагаемому $|x(1)-y(1)|^2$ прибавляется положительное число, то корень из $  \sqrt{|x(1)-y(1)|^2+|x(2)-y(2)|^2+|x(3)-y(3)|^2+...} $ будет больше чем $ \sqrt{|x(1)-y(1)|^2}=|x(1)-y(1)|$,
то есть:

$  \sqrt{|x(1)-y(1)|^2+|x(2)-y(2)|^2+|x(3)-y(3)|^2+...} \geqslant |x(1) - y(1)|$

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение19.12.2016, 02:19 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1176921 писал(а):
$\|F_1 x - F_1 y\| \leqslant |f(x(1)) - f(y(1))|$, что $\|x - y\| \leqslant |x(1) - y(1)|$ для $x, y \in l_2$, и из этих двух утверждений и равномерной непрерывности $f$ выведите равномерную непрерывность $F_1$ (цепочкой неравенств, без непонятных переходов "значит так").

по определению равномерной непрерывности $f$, то есть
$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in \mathbb{R}: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)}\right| < \varepsilon$
и из неравенств $\|F_1 x - F_1 y\| \leqslant |f(x(1)) - f(y(1))|$ и $\|x - y\| \geqslant |x(1) - y(1)|$, которое можно переписать в виде $|x(1) - y(1)| \leqslant \|x - y\|$ в качестве $|x-y|$ из определения равномерной непрерывности $f$ берётся $|x(1)-y(1)|$, а в качестве $\delta $ берётся $\|x - y\|$, то есть $|x(1) - y(1)| \leqslant \|x - y\|$, вероятно, в качестве $|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)}| $ нужно брать $|f(x(1)) - f(y(1))|$, но оно, как видно из доказательства
Цитата:
по определению нормы в $l_1$
$||F_1x-F_1y||=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|F_1(x(n))-F_1(y(n))|=|f(x(1))-f(y(1))|$
и значит
$|f(x(1))-f(y(1))| = |f(x(1))-f(y(1))|$;

само себе же и равно, то есть $\|F_1 x - F_1 y\| = |f(x(1)) - f(y(1))|$, и поэтому мне не понятно, где тут $\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение19.12.2016, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
У вас есть равномерная непрерывность $f$ - т.е. для каждого $\varepsilon$ вы умеете выбирать $\delta$.
Теперь вам нужно показать, что $F_1$ равномерно непрерывна. У вас есть какое-то $\varepsilon$. В качестве $\delta$ можно взять то же, что было из определения равномерной непрерывности $f$ (спойлер: всё сойдется). Теперь есть пара векторов из $l_2$, с нормой разности не больше $\delta$. Что дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение19.12.2016, 19:10 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1178312 писал(а):
Теперь есть пара векторов из $l_2$, с нормой разности не больше $\delta$. Что дальше?

то есть нужно взять $||x-y|| < \delta$, и тогда из определения равномерной непрерывности $F_1$ :
Цитата:
$  \forall \varepsilon > 0  \exists \delta >0 \forall x,y \in l_2  : \rho (x,y)=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x(n)-y(n)|^2}< \delta \to  \rho (F_1x,F_1y)= |\sqrt[5]{x(1)^2 \sin(x(1))} - \sqrt[5]{y(1)^2 \sin(y(1))}|< \varepsilon  $

следует, что $||F_1x-F_1y|| < \varepsilon$;

Из неравенства $|x(1) - y(1)| \leqslant \|x - y\|$ получается $|x(1) - y(1)| \leqslant \|x - y\| <  \delta$,
а из неравенства $\|F_1 x - F_1 y\| \leqslant |f(x(1)) - f(y(1))|$, которое можно переписать в виде равенства $\|F_1 x - F_1 y\| = |f(x(1)) - f(y(1))|$, и из определения равномерной непрерывности $F_1$ следует $\|F_1 x - F_1 y\|  < \varepsilon$, то есть $\|F_1 x - F_1 y\| = |f(x(1)) - f(y(1))| <  \varepsilon$, где $|f(x(1)) - f(y(1))|=|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)} |$ и значит $|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)} | < \varepsilon$

то есть :
$|x(1) - y(1)| < \|x - y\| <  \delta$
$\|F_1 x - F_1 y\| = |f(x(1)) - f(y(1))|=|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)} | <  \varepsilon$

но эти неравенства удовлетворяют условию равномерной непрерывности функции $f$, где в качестве $|x-y|$ можно взять $|x(1)-y(1)|$, а в качестве $ |\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)} | $ взять норму $||F_1 x - F_1 y\|| $:

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in \mathbb{R}: \left|x - y\right| < \delta \rightarrow \left|\sqrt[5]{x^2 \sin(x)} - \sqrt[5]{y^2 \sin(y)}\right| < \varepsilon$
и из всего этого следует равномерная непрерывность отображения $F_1x$ из пространства $l_2$ в пространство $l_1$? То есть равномерная непрерывность доказана?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение19.12.2016, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
Нет, не доказана. Есть почти все нужные слова, но в случайном порядке.

Что-то выводить из равномерной непрерывности $F_1$ пока что бесполезно - ее как раз нужно доказать.

Мы взяли $\varepsilon$, получили $\delta$ из равномерной непрерывности $f$ (расписывать, что из себя представляет $f$, тут не нужно - мы будем пользоваться только тем, что она равномерно непрерывна и что $\|F_1x - F_1y\| = \left|f(x(1)) - f(y(1))\right|$).
Теперь у нас есть пара векторов $x, y$ таких что $\|x - y\| < \delta$, и нам надо доказать, что $\|F_1 x - F_1 y\| < \varepsilon$.
Это уже совсем легко сделать без слов (мы конечно тут не совсем заменяем кванторы словами, но сойдет).
$\|x - y\| < \delta \rightarrow \left|x(1) - y(1)\right| < \delta \rightarrow \ldots$ - продолжите (подсказка: дальше должно идти что-то про $f$, а потом про $F_1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение19.12.2016, 20:22 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1178403 писал(а):
$\|x - y\| < \delta \rightarrow \left|x(1) - y(1)\right| < \delta \rightarrow \ldots$ -

из $|x(1) - y(1) | < \delta \rightarrow |f(x(1))-f(y(1))| < \varepsilon$ по определению равномерной непрерывности $f$, и так как $|f(x(1))-f(y(1))|=||F_1x-F_1y|| \rightarrow  ||F_1x-F_1y||< \varepsilon$, то есть
$\|x - y\|  < \delta \rightarrow ||F_1x-F_1y||< \varepsilon$, то есть выполняется условие равномерной непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение19.12.2016, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9215
Цюрих
Да, так (я правда не могу найти - доказали ли вы равномерную непрерывность $f$? если нет, то это надо сделать).

Теперь надо проанализировать $F_2: F_2x = (0, 0, \frac{x(1)}{2}, \frac{x(2)}{3}, \ldots)$. Тут свести к конечномерному случаю не получится, т.к. образ бесконечномерен, но зато функция линейна.

(а после этого надо будет что-то доказать про равномерную непрерывность суммы равномерно непрерывных функций)

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение19.12.2016, 21:54 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1178427 писал(а):
доказали ли вы равномерную непрерывность $f$? если нет, то это надо сделать

а что, если в функции $f=\sqrt[5]{x(1)^2\sin x(1)}$ будет $x(1)=5$ например, и тогда под корнем будет отрицательное значение,то есть график функции не является непрерывным, выходит функция не является непрерывной?
mihaild в сообщении #1178427 писал(а):
суммы равномерно непрерывных функций)

то есть отображение $F_2$ является равномерно-непрерывным?
mihaild в сообщении #1178427 писал(а):
Тут свести к конечномерному случаю не получится, т.к. образ бесконечномерен, но зато функция линейна.

то есть приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности? Я не знаю, как её проанализировать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 133 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group