шарик в чашке

[Freude]

Да, но это примеры не годятся, потому что функция в условии гладкая, а в Ваших примерах, как я понял, функции не гладкие.

[Хет Зиф]

Freude
Не ну цирк можно и гладким сделать

[Freude]

Как? Тогда у него один минимум будет (это я про цирк).

Добавлено спустя 4 минуты 46 секунд:

Я вот по другому придумал обосновать. Если шар, выйдя из точки на краю, опять вернется на край, то работа сил, действующая на него будет равна нулю. Это очевидно, так как работа в поле потенциальных сил, которой является гравитационная сила, зависит только от раcтояния до источника (от высоты шара). Работа в любом случае должна быть равна нулю - нет трения. Теперь давайте подумаем, существует ли возможность, чтобы шар выйдя из края чашки не вернулся на край и при этом работа была равна нулю. Это невозможно, потому что интеграл по траектории (работа) в силу выпуклости поверхности меняет знак только один раз (под интегралом стоит градиент потенциала, т.е. поверхности).

Т.е. в любом случае при таких условиях задачи шар вернется на край. Где ошибка?

[Brukvalub]

А почему он не может начать бесконечно долго бегать по замкнутой кривой, или по траектории, имеющей такую кривую предельным циклом?

[Freude]

Только в том случае если он изначально какается по краю чашки, если шар сделает малейшее движение вниз, то тогда он обязан вернуться на край. Кататься по предельному циклу он сможет, если учесть трение. Такие выводы я сделал из требования работы быть равной нулю, напомню - работа не зависит в данном случае от траектории, только от высоты шара.

Выпуклость функции оговаривается в задаче затем, чтобы не допустить наличия возвышенностей в чашке, высотой равной краю. Забравшись на такую возвышенность шарик тоже проделает нулевую работу.

Насчет цирка я уже сомневаюсь. Действительно, ведь гладкая функция может иметь плато?

[Brukvalub]

Freude писал(а):

Такие выводы я сделал из требования работы быть равной нулю, напомню - работа не зависит в данном случае от траектории, только от высоты шара.

А в теореме о работе где-нибудь говорится, что эта самая работа должна совершиться за конечное время?

[Профессор Снэйп]

Freude писал(а):

Как? Тогда у него один минимум будет (это я про цирк).

С чего это?

Вы с функциями типа

$$ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, &x>0; \\ 0, &x \leqslant 0 \end{cases} $$

знакомы? Эта функция бесконечно гладкая. Теперь если вращать её "правую часть" вокруг оси $x=-1$, то будет Вам гладкий цирк с плоским дном.

[Freude]

Да, Профессор Снэйп, согласен с вами. Гладкая функция вполне может иметь плато.

Добавлено спустя 3 минуты 44 секунды:

Цитата:

А в теореме о работе где-нибудь говорится, что эта самая работа должна совершиться за конечное время?

Но в задаче также не указано, что шар должен взобраться на край в течении конечного времени Возможно придется подождать...

[Хет Зиф]

Freude писал(а):

Как? Тогда у него один минимум будет (это я про цирк).

Добавлено спустя 4 минуты 46 секунд:

Это невозможно, потому что интеграл по траектории (работа) в силу выпуклости поверхности меняет знак только один раз (под интегралом стоит градиент потенциала, т.е. поверхности).

Т.е. в любом случае при таких условиях задачи шар вернется на край. Где ошибка?

Почему же это он меняет знак один раз?? он может менять знак бесконечно много раз, возьмите колебания.

[Freude]

Если это и решение, то оно физическое, автор просил математическое. Надо поменять тогда формулировки: решение задачи основано на свойствах аналитической функции (кажется это теорема Коши-Римана).

Добавлено спустя 2 минуты 24 секунды:

Цитата:

Почему же это он меняет знак один раз?? он может менять знак бесконечно много раз, возьмите колебания.

да, возможно. Но в любом случае интеграл этого градиента не достигнет нуля, пока шар не вернется на край, поскольку в силу выпуклости вниз, нет больше вершины, равнои по высоте краям чашки.

[Хет Зиф]

Freude
Математическое решение в данном случае не будет противоречить физике, просто ваши аргументы не совсем верны. С чего вы взяли что работа должна быть равна нулю? Шарик съехал с края и стал вращаться, работа силы тяжести ушла в кинетическую энергию и все. И тут нет противоречия физике. И никто по идее не застрахованот бесконечного вращения внутри чашки.

[Freude]

Цитата:

работа силы тяжести ушла в кинетическую энергию

Об этом я не подумал.

[Хет Зиф]

Freude
Ну так или иначе рассуждениями основывающимися на ЗСЭ решения не получишь! Тут нужно через математику

[Freude]

А что такое ЗСЭ?

[Brukvalub]

Freude писал(а):

А что такое ЗСЭ

Закон сохранения того, о чем сами физики точно ничего не знают Но, опять же повторюсь, нигде не говорится, что за конечное время вся потенциальная энергия обязана превратиться в себя снова!