Изучение математики

[SomePupil]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1177527 писал(а):

Вавилова Mengenlehre?

Прекрасная книга, кстати. Она отучила меня рассуждать о множестве зеленых яблок.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1177548 писал(а):

Я смысл слов "общая топология" узнал очень поздно, и до сих пор считаю, что это предмет, имеющий очень мало общего со словом "топология". А то, что называется словом "топология", также может снабжаться эпитетами "алгебраическая", "дифференциальная", "комбинаторная". Наука о сферах и бубликах, и листах Мёбиуса, и всяком таком.

У меня ощущение противоположное. Какой-то пропасти между общей и алгебраической топологиями я не вижу; более того, не вижу и чёткой грани между ними.

И общая топология, и алгебраическая в каком-то смысле изучают свойства пространств и множеств в этих пространствах, не меняющиеся при деформациях этих пространств ("без разрывов и склеиваний"). Такое впечатление возникает при рассмотрении сфер и бубликов, а также стягивающихся и нестягивающихся петель на этих поверхностях ("алгебраическая топология"); но точно такое же возникает и при рассмотрении границ и внутренностей, открытых и замкнутых множеств ("общая топология"). Основные понятия топологии, такие как гомеоморфизм, вводятся в общей топологии и незаменимы в алгебраической.

Разница только в том, что в общей топологии изучаются любые топологические пространства (в т.ч. довольно странно устроенные), а в алгебраической и дифференциальной - только одного специального вида - многообразия. (Хотя, строго говоря, и это неверно: в теории клеточных комплексов, относящейся явно к "алгебраической топологии", рассматриваются и некоторые "бесконечномерные" топологические пространства.)
Но как определить многообразие? Как хаусдорфово пространство со счётной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb{R}^n$. А это всё термины из общей топологии. Без общей топологии алгебраическая лишается своего предмета.
(Конечно, при желании можно определить многообразие и по-другому, как класс гомеоморфных друг другу $n$-мерных поверхностей в евклидовых пространствах любой конечной размерности - но это определение мне не кажется сколько-нибудь красивым. В первую очередь потому, что, изучая многообразие, мы совсем не обращаемся к каким-то внешним пространствам, они нам не нужны и неинтересны. Когда мы рассматриваем бутылку Клейна и проективную плоскость, нам неважно, что они реализуемы в виде поверхностей в $\mathbb{R}^4$; даже если бы не были реализуемы, это нисколько не сделало бы эти пространства менее интересными. Вот почему многообразия должны определяться как топологические пространства, а не как поверхности или их классы.)

Когда мы склеиваем двумерное многообразие из разных кусков, приклеиваем к нему ручки и плёнки Мёбиуса, или получаем его из многоугольных развёрток - тут незаменимо понятие фактортопологии, без которого это всё строго не обосновать. А фактортопология - это понятие из общей топологии.

У меня есть представление об оптимальном плане изучения топологии, как-то так:
Основы (топологические пространства, замыкания, границы и внутренности множеств, открытые и замкнутые множества, гомеоморфизмы и изотопии; см. мои комментарии в теме topic113342.html) => Теория метрических пространств (в частности, свойства открытых и замкнутых множеств в этих пространствах) => Общая топология в терминах системы открытых множеств (для настоящего понимания которой нужна подготовка в виде предыдущего этапа) => Фактортопология и "склеивания" топологических пространств (в качестве примера можно рассмотреть проективную плоскость) => Многообразия (вводимые согласно данному выше определению; здесь интересно посмотреть и прочувствовать, какую роль в этом определении играет хаусдорфовость, счётность базы) => Двумерные многообразия и их классификация - и тут мы уже подходим к гомотопиям, гомологиям, когомологиям и прочему.

И в этом плане я не вижу ни одной резкой границы, каждый этап плавно переходит в следующий.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1177527 писал(а):

Вы смотрели Вавилова Mengenlehre?

Смотрел-то смотрел, но не уверен в том, что можно её читать первым делом, а не после получения той самой базы, о которой тут разговор.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1177608 писал(а):

Смотрел-то смотрел, но не уверен в том, что можно её читать первым делом, а не после получения той самой базы, о которой тут разговор.

Я тоже не уверен.

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):

Какой-то пропасти между общей и алгебраической топологиями я не вижу; более того, не вижу и чёткой грани между ними.

Одно дело - пропасть между науками, и другое - между учебниками. "Общая топология" интересутся "патологиями", то есть топологиями, устроенными не как область $\mathbb{R}^n$ в окрестности. А как только мы отвлекаемся от "патологий", например, переходим к клеточным пространствам, то предмет изучения сильно меняется, меняется и точка зрения, и метод.

Всё, что вы пишете, мне известно, но на моё мнение не влияет. И кстати, я не произносил слова "пропасть". Мне кажется, тут ближе образ "излома".

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):

Конечно, при желании можно определить многообразие и по-другому, как класс гомеоморфных друг другу $n$-мерных поверхностей в евклидовых пространствах любой конечной размерности - но это определение мне не кажется сколько-нибудь красивым.

Мне приятно определение через карты и атласы. Оно удобно в дифференциальной геометрии.

Mikhail_K в сообщении #1177582 писал(а):

У меня есть представление об оптимальном плане изучения топологии

Это практически план изучения "общей топологии". Алгебраическая остаётся неохваченной, кроме небольшого иллюстративного случая двух измерений.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1177622 писал(а):

"Общая топология" интересутся "патологиями"

Общая потология? :)

[knizhnik]

knizhnik в сообщении #1177437 писал(а):

Munin в сообщении #1177234 писал(а):

Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.

Нет, логика не выразима через арифметику целых чисел.

Munin в сообщении #1177527 писал(а):

knizhnik
Замечания я буду принимать от кого-то более компетентного, чем вы.

Моих компетенций вполне достаточно, чтобы сделать вам такое замечание.

[Xaositect]

Ну, вообще, основная часть доказательства теоремы Геделя о неполноте - это выражение логики через арифметику целых чисел, в некотором смысле.

[Anton_Peplov]

Я учился математической логике по уже упомянутой книжке Клини. Там язык, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первого порядка в полном составе включены в формальную арифметику. Это значит, что любая формула и любой вывод логики первого порядка являются также формулой и выводом формальной арифметики, т.е., имея арифметику, мы автоматически имеем и логику первого порядка как ее часть.

[knizhnik]

Xaositect в сообщении #1177710 писал(а):

Ну, вообще, основная часть доказательства теоремы Геделя о неполноте - это выражение логики через арифметику целых чисел, в некотором смысле.

Ну, нет. Это выражение не логики, а логического синтаксиса. Ясно, что таким же способом можно нумеровать предложения любого языка, хоть даже поэзию Серебряного века при желании.

(Оффтоп)

На вопрос о том, можно ли аксиомы логики записать как геделевы числа, а правила подстановки и вывода как специфические операции в арифметике, ответ по-моему однозначный. То есть нет, нельзя. Рассмотрим хотя бы подстановку. В ИВ можно одну формулу подставить вместо буквы в другую. Причем если букв там больше одной, то и вариантов подстановки больше одного.
С точки зрения геделевой нумерации в разложении по степеням в этот момент происходит сдвиг старых показателей степеней и вставка на их место новых показателей. Системы целых чисел с арифметическими операциями для описания всевозможных сдвигов и вставок явно недостаточно.
Безусловно, можно с показателями степеней работать и чисто синтаксически, чисто вручную. Но тогда при чем тут арифметика?

Anton_Peplov в сообщении #1177739 писал(а):

аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первого порядка в полном составе включены в формальную арифметику

Они всегда включены в любую теорию первого порядка, явно или неявно.

Anton_Peplov в сообщении #1177739 писал(а):

имея арифметику, мы автоматически имеем и логику первого порядка как ее часть.

Проще говоря, арифметика первого порядка выразима в логике первого порядка, а не наоборот. Ну да. Конечно. А то мы не знали!
Нет смысла отстаивать чужое нелепое утверждение. Фраза "все эти разделы выразимы друг через друга" есть просто нелепость, из нее невозможно сделать что-то разумное.

[Anton_Peplov]

Предлагаю сосчитать протоны в ядре. Есть подозрение, что их семьдесят девять.

[knizhnik]

Anton_Peplov в сообщении #1177809 писал(а):

Предлагаю сосчитать протоны в ядре. Есть подозрение, что их семьдесят девять.

Ну, что тут сказать... Приведите самостоятельные попытки решения этого вопроса.

[Xaositect]

(Оффтоп)

knizhnik в сообщении #1177801 писал(а):

На вопрос о том, можно ли аксиомы логики записать как геделевы числа, а правила подстановки и вывода как специфические операции в арифметике, ответ по-моему однозначный. То есть нет, нельзя. Рассмотрим хотя бы подстановку. В ИВ можно одну формулу подставить вместо буквы в другую. Причем если букв там больше одной, то и вариантов подстановки больше одного.
С точки зрения геделевой нумерации в разложении по степеням в этот момент происходит сдвиг старых показателей степеней и вставка на их место новых показателей. Системы целых чисел с арифметическими операциями для описания всевозможных сдвигов и вставок явно недостаточно.

А зачем нам еще геделевские номера, если не для того, чтобы выражать правила вывода? Все основные синтаксические операции, включая подстановку, являются примитивно-рекурсивными на геделевых номерах, а следовательно, выразимы арифметическими предикатами. Подробнее в учебнике Мендельсона, глава 3.