2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 18:12 


14/06/16
16
Пусть X и Y - два мн-ва наделённые топологией.
По определению Гомеоморфизма 1)Существует биекция между X и Y 2 ) f и обратная к ней функция непрерывна .
Следствие 2-го пункта: Тогда должна существовать биекция между топологиями,а также биекция между 1-1 открытыми множества(прав ли я?)
Причём не требуется чтобы элементы множеств X и Y были равны,аналогично не обязательно чтобы были равны 1-1 открытые множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1900
СПб
art9 в сообщении #1170886 писал(а):
также биекция между 1-1 открытыми множества(прав ли я?)

Да.

art9 в сообщении #1170886 писал(а):
не обязательно чтобы были равны
Равенство в математике -- редкая вещь. Вообще, нечто равно только самому себе, и то не всегда)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 19:00 


14/06/16
16
alcoholist в сообщении #1170892 писал(а):
art9 в сообщении #1170886 писал(а):
также биекция между 1-1 открытыми множества(прав ли я?)

Да.

art9 в сообщении #1170886 писал(а):
не обязательно чтобы были равны
Равенство в математике -- редкая вещь. Вообще, нечто равно только самому себе, и то не всегда)

Спасибо,а сможете какие нибудь интересные примеры гомеорморфизма привести?Я только знаю: интервал (a,b) гомеом. R ,а сможете привести пример связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1415
Москва
art9 в сообщении #1170896 писал(а):
связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?
Таких не бывает. Вообще, при гомеоморфизмах сохраняется много разных интересных свойств, поэтому гомеоморфизмов мало.
Классический пример - чашка гомеоморфна бублику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 19:16 


14/06/16
16
mihaild в сообщении #1170897 писал(а):
art9 в сообщении #1170896 писал(а):
связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?
Таких не бывает. Вообще, при гомеоморфизмах сохраняется много разных интересных свойств, поэтому гомеоморфизмов мало.
Классический пример - чашка гомеоморфна бублику.

Не бывает потому-что природа полу открытого интервала другая,чем природа точек сферы?или почему не может быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12921
Москва
Например, потому, что непрерывный образ компакта - компакт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 19:36 


14/06/16
16
Brukvalub в сообщении #1170900 писал(а):
Например, потому, что непрерывный образ компакта - компакт.

Спасибо,я еще не знаю этого определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14932
Новомосковск
art9 в сообщении #1170886 писал(а):
между 1-1 открытыми множества
art9 в сообщении #1170886 писал(а):
равны 1-1 открытые множества
Что такое "1-1 открытые множества"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12921
Москва
art9 в сообщении #1170902 писал(а):
Спасибо,я еще не знаю этого определения.

Так узнайте. Вы взялись не за квадратный трехчлен, а за чуть более сложные вещи. Чего же вы хотите - чтобы здесь "Сеня быстренько объяснил товарищу, зачем Володька сбрил усы"? Так не бывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #1170892 писал(а):
нечто равно только самому себе, и то не всегда)

Иртеньев писал(а):
Лишь один себе равен в толпе я.
Лишь один. Да и то не вполне.

:mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 20:21 


14/06/16
16
Someone в сообщении #1170904 писал(а):
art9 в сообщении #1170886 писал(а):
между 1-1 открытыми множества
art9 в сообщении #1170886 писал(а):
равны 1-1 открытые множества
Что такое "1-1 открытые множества"?

множества которые получаются при биекции топологий

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5033
art9
Тут важно понимать вот что. Топология и зародилась как наука о свойствах, которые сохраняются при гомеоморфизмах (когда еще и понятия топологического пространства не было, и все определения, включая определение гомеоморфизма, давались для $\mathbb R^n$). Поэтому не надо удивляться, что хаусдорфовость, компактность и прочие "топологические" свойства сохраняются гомеоморфизмами - они и формулировались так, чтобы сохраняться. Если хотите не сохраняющихся свойств, лучше сходить в метрические пространства. Например, гомеоморфизм не обязан сохранять ни ограниченность, ни полноту - $(0, 1)$ гомеоморфно $(-\infty, \infty)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2469
art9 в сообщении #1170896 писал(а):
а сможете привести пример связывающих например геом.фигуры (сферу и.т.д ) с объектами другой природы те же полу открытые интервалы,интервалы?

Здесь знание строгих определений соседствует с явным отсутствием интуитивного понимания, что такое гомеоморфизм. Обычно бывает наоборот, гм. Но так тоже совсем нехорошо.

Поэтому вместо изложения теории я расскажу сказку.

Пусть в пространстве $X$ живёт жук (здесь и далее, пространство (топологическое) - это множество, наделённое топологией). Он может ползать по этому пространству туда-сюда, рисовать на нём разные фигуры, делать различные наблюдения, но у него нет линейки, циркуля, транспортира и вообще любых инструментов для измерения длин, углов, формы объектов.
И вот задумался жук - в каком же именно пространстве он живёт. И есть у него две гипотезы - что это пространство $X$ или что это пространство $Y$.
Так вот, если жук в принципе сможет разгадать эту загадку и установить, что он живёт именно в пространстве $X$, а не в пространстве $Y$ - тогда $X$ и $Y$ негомеоморфны, и гомеоморфизма между ними нет. Если же разгадать эту загадку и различить пространства $X$ и $Y$ для жука в принципе невозможно - тогда $X$ и $Y$ гомеоморфны.

Прежде всего, гомеоморфными оказываются те пространства, которые можно перевести друг в друга непрерывной деформацией без разрывов и склеиваний. Например, окружность гомеоморфна эллипсу, и любой другой замкнутой линии без самопересечений - любой длины. Потому что и по окружности, и по эллипсу жук может ползать туда-сюда, в одном направлении и в другом. Ещё он может отметить в каком-нибудь месте точку и убедиться, что если ползти из неё достаточно долго в одном направлении, то в конце концов придёшь в ту же точку. А инструментов для того, чтобы измерить длину линии или определить её форму, у жука нет. Поэтому он никогда не сможет узнать, на окружности он живёт или на другой замкнутой линии.

Но окружность негомеоморфна отрезку: если ползти по отрезку в любом направлении, то рано или поздно приползёшь в его конец, и дальше ползти уже нельзя. С окружностью всё иначе. Поэтому жук сможет определить, на окружности он живёт или на отрезке - если у него есть только эти две гипотезы.

Сфера гомеоморфна поверхности куба - по той же причине, что и окружность гомеоморфна квадрату. Но сфера негомеоморфна тору - поверхности бублика. Конечно, и на сфере, и на торе жук сможет совершить "кругосветное путешествие" и вернуться в ту же точку. Но если он отметит при этом свой маршрут, то обнаружит, что такой "кругосветный маршрут" на сфере всегда делит её на две части - грубо говоря, на два полушария. А если жук живёт на торе, то не всякий "кругосветный маршрут" делит его на две части - например, если обойти тор по меридиану.

Разумеется, окружность (равно как и отрезок) негомеоморфна ни сфере, ни тору. Потому что по окружности можно ползти только в двух направлениях - вперёд и назад, а по сфере и по тору - во многих разных.

И да, интервал гомеоморфен прямой - жук не сможет их различить. Казалось бы, что здесь сложного - ведь интервал конечен, а прямая бесконечна. Но жук может ползать только в пределах своего пространства, поэтому и до конца интервала он никогда не доползёт - иначе бы это был выход за пределы интервала. Жук может только асимптотически приближаться к концу интервала. Точно так же, жук может ползти по прямой всё дальше и дальше и дальше, уходя в бесконечность - но никогда её не достигая. Вот если бы у жука была линейка, он смог бы увидеть, что на интервале все длины не больше какого-то значения, а на прямой можно отмерить сколь угодно большую длину. Но линейки у жука нет, и интервал и прямая для него неразличимы - это гомеоморфные пространства.

Отрезок же негомеоморфен ни интервалу, ни прямой. Потому что отрезок можно проползти весь до конца, сесть в его конце и сказать: я дополз до края света. С интервалом и прямой так не получится. Отрезок можно отличить от интервала или прямой.

------------

Какая здесь связь с теорией? А вот какая. Все (внутренние) топологические свойства пространства (те, которые можно выразить в терминах топологии) при гомеоморфизме сохраняются. На этот счёт существует теорема. Но это именно те свойства, которые может обнаружить жук, не обладая никакими инструментами для измерения длин и углов и для определения формы объектов. Поэтому любые свойства, которые он сможет обнаружить, будут совершенно одинаковы для гомеоморфных пространств - и не позволят жуку отличить одно гомеоморфное пространство от другого.

Вот так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 21:34 


14/06/16
16
Спасибо вам,очень интересно,дело в том что я учусь в 8 классе,и у нас на мат кружке рассказывали про топологию, 3 занятия,давали понятия: внут,граница,внешность,разбиение X на 4 непересек.множества,база топологии,а в конце 3-го занятия дали понятие гомеоморфизма,и мне стало интересно что это такое,но у меня остался один вопрос,разве из того что f непрерывно не следует что обратная функция тоже непрерывна? ведь это аналогично мно-во A=B => B=A

 Профиль  
                  
 
 Re: Гомеоморфизм(Общая топология)
Сообщение22.11.2016, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
2469
art9 в сообщении #1170931 писал(а):
Спасибо вам,очень интересно,дело в том что я учусь в 8 классе,и у нас на мат кружке рассказывали про топологию

Топология в 8 классе - это очень классно.
Почитайте ещё вот эту тему: topic110798.html . Возможно, Вам будет интересно.
Ещё посоветую следующие книжки:

Болтянский, Ефремович. Наглядная топология
Фоменко. Наглядная геометрия и топология
Прасолов, Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии


Они довольно интересные и нескучные.

art9 в сообщении #1170931 писал(а):
но у меня остался один вопрос,разве из того что f непрерывно не следует что обратная функция тоже непрерывна?

Нет, не следует.
Контрпример: функция, ставящая в соответствие числу $\varphi\in[0,2\pi)$ точку с соответствующей координатой на единичной окружности. Эта функция непрерывна (когда точка $\varphi$ непрерывно движется по интервалу $[0,2\pi)$, соответствующая точка на окружности тоже движется непрерывно). Но обратная функция, ставящая в соответствие точке на окружности её координату, разрывна: когда точка, двигаясь по окружности, пересекает положительную полуось оси абсцисс, например сверху вниз, её координата меняется скачком с нуля до значений, близких к $2\pi$.
art9 в сообщении #1170931 писал(а):
ведь это аналогично мно-во A=B => B=A

Нет, не аналогично.

Кстати, Вы уже несколько раз нарушили правила данного форума. Все формулы должны записываться в системе $\TeX$ - см. краткие указания в теме topic18634.html , во втором сообщении. Кроме того, в последнем сообщении у Вас слишком большая цитата. Чтобы процитировать собеседника, выделяйте только тот фрагмент его сообщения, на который хотите ответить, и нажимайте кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group