Изучение математики

[Eric1987]

Подскажите пожалуйста где можно получить информацию о взаимосвязи между собой различных разделов математики.
Возможно ли последовательно, линейно изучать математику начиная с теории множеств, потом логику, потом теорию чисел, мат. анализ и т.д.
По идее первичный раздел математики - математическая логика, так как в любой теории, любом разделе математики для доказательств используется логика.

P.S. Настолько плохо знаю, что мне даже трудно сформулировать достаточно точно свой вопрос, который и окончательно еще не сложился в голове.

[Xaositect]

ИМХО возможно, но очень нежелательно - изучать различные разделы параллельно полезно, потому что они дают примеры для применения друг друга. Изучать надо циклами, смотрите программы разных университетов, как там распределено все.

[grizzly]

Eric1987
Посмотрите эти темы:
«Карта разделов математики»
«Чем вообще занимаются современные математики?»
и оттуда ссылки по другим подобным темам. Если Вам это действительно нужно, то там найдёте много интересного для себя.

Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):

Возможно ли последовательно, линейно изучать математику начиная с теории множеств, ...

Вообще, идея не очень хорошая. Мир математики слишком обширен -- без методически грамотно составленных курсов шансы осилить хоть что-то достаточно быстро, чтобы двигаться дальше, близки к нулю. Насколько глубоко Вы хотели бы вникать в перечисленные Вами разделы? В любом случае неизбежен такой путь: сначала по верхам общие основы в части разделов, потом выбор направления и углублённое изучение одного направления. Потом выбор другого. Шансов дойти до третьего очень мало, но по верхам можно будет пройтись вторым-третьим кругом.

[Munin]

Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):

Подскажите пожалуйста где можно получить информацию о взаимосвязи между собой различных разделов математики.

Здесь на форуме. Есть много старых тем со множеством ссылок. Вы искать пробовали?

Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):

Возможно ли последовательно, линейно изучать математику начиная с теории множеств, потом логику, потом теорию чисел, мат. анализ и т.д.

Возможно, но глупо и с плохими результатами.

Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):

По идее первичный раздел математики - математическая логика, так как в любой теории, любом разделе математики для доказательств используется логика.

Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.

[Anton_Peplov]

Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):

По идее первичный раздел математики - математическая логика, так как в любой теории, любом разделе математики для доказательств используется логика.

Для того чтобы понимать и даже придумывать математические доказательства, знать раздел математики под названием "математическая логика" совсем не обязательно. Достаточно уметь логически мыслить, не допускать логических ошибок. Если у Вас с этим все в порядке, изучение математической логики можете пропустить, если только нет к ней специального интереса. Вот если не в порядке... Что ж, некоторые пользователи советуют в таком случае изучать учебники по матлогике, но я всегда сомневался в эффективности этой меры.

Munin в сообщении #1177234 писал(а):

Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.

Это правда. Но я хотел бы предостеречь ТС от того, чтобы отождествлять "математика начинается с" (в смысле - данный раздел используется ка один из вариантов оснований математики) и "начинать изучение математики нужно с". Основания математики - глубоко специфичный предмет для любителей задавать вопросы типа "на чем основана наша уверенность, что дважды два четыре?". Если у Вас нет к этому склонности, все эти логики, алгоритмы, формальные теории можете вообще опустить (правда, с элементарными понятиями теории множеств познакомиться все-таки придется).

grizzly в сообщении #1177231 писал(а):

Посмотрите эти темы:
«Карта разделов математики»
«Чем вообще занимаются современные математики?»

Боюсь, что для человека, никогда не изучавшего математики сверх школьной, подобные обсуждения написаны на инопланетном языке. Ну прочитает он дискуссию о том, надо ли относить вжамавмтфык к прнеку или скорее к еннсту, и что? Совет ориентироваться на программы математических факультетов, на очередность предметов кажется более полезным.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1177257 писал(а):

Вот если не в порядке... Что ж, некоторые пользователи советуют в таком случае изучать учебники по матлогике, но я всегда сомневался в эффективности этой меры.

Да, учебники по матлогике здесь примерно не более полезны, чем учебник матанализа для разрешения проблем со сложением и умножением десятичных дробей: при желании позволят вывести алгоритмы этих вещей самостоятельно, но практики всё равно не дадут. Есть несколько книг, посвящённых в какой-то мере исключительно (без интересных определений из актуальной математики никакой практики не получится) доказательствам, только я их названия, как обычно, не помню. Они при этом не называются учебниками матлогики.

[Munin]

Да, учебники матлогики обычно написаны для людей, уже знакомых с учебниками 1-2 курса по алгебре и матанализу. И учебники по теории множеств страдают тем же свойством.

[arseniiv]

Видимо, предполагается, что введение было в учебнике матанализа. Не буду говорить, хорошее ли это решение и вообще решал ли кто-то это, но выглядит как молчаливое согласие. Общематематических сведений из теории множеств не так много, и думается, их и на семестровый курс не хватит (это суждения за пределами компетенции, если что, и не знаток разнообразия учебников), хотя я их и не видел собранными всеми в одном месте в нестрашном учебнике. Например, было бы интересно увидеть «общий» учебник, где было бы слово о совместимости функции с отношением эквивалентности.

[SomePupil]

arseniiv в сообщении #1177400 писал(а):

Видимо, предполагается, что введение было в учебнике матанализа.

Видимо, предполагается наличие общей математической культуры.

Munin в сообщении #1177376 писал(а):

И учебники по теории множеств страдают тем же свойством.

Я вообще не представляю себе нормальных математических учебников, подходящих для людей, не знакомых с 1-2 курсом матана и алгебры, кроме учебников по 1-2 курсу матана и алгебры

[knizhnik]

Munin в сообщении #1177234 писал(а):

Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.

Нет, логика не выразима через арифметику целых чисел.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1177400 писал(а):

Общематематических сведений из теории множеств не так много, и думается, их и на семестровый курс не хватит (это суждения за пределами компетенции, если что, и не знаток разнообразия учебников), хотя я их и не видел собранными всеми в одном месте в нестрашном учебнике.

Я думаю, первая глава из Колмогорова-Фомина вполне подойдет.

-- 16.12.2016, 11:23 --

SomePupil в сообщении #1177405 писал(а):

Я вообще не представляю себе нормальных математических учебников, подходящих для людей, не знакомых с 1-2 курсом матана и алгебры, кроме учебников по 1-2 курсу матана и алгебры

Клини "Математическая логика". Что-нибудь не сильно глубокое по теории алгоритмов типа Матросова-Поднебесной (хоть конкретно этот учебник мне и не нравится) тоже. Виро и К "Элементарная топология" (хотя многие говорят, что топологию нельзя понять, если изучать ее раньше анализа, я в этом совсем не уверен). Еще какие-нибудь разделы можно найти.
Но это капля в море, конечно. Ни дифуры, ни функан, ни ТФКП, ни нормальный теорвер, и т.д. и т.п. без анализа не живут. Вот алгебра не так нужна, точнее - нужна линейная алгебра, а группы-кольца-поля в первом приближении можно опустить.

[SomePupil]

Anton_Peplov в сообщении #1177469 писал(а):

точнее - нужна линейная алгебра

+1. Преподы МГУ золотого века даже ввели добрую традицию $-$ преподавать перед линейной алгеброй аналитическую геометрию, чтобы студенты лучше осваивали линейную алгебру.

Anton_Peplov в сообщении #1177469 писал(а):

(хотя многие говорят, что топологию нельзя понять, если изучать ее раньше анализа, я в этом совсем не уверен).

Это Вы, наверное, учили общую топологию все-таки после знакомства с матаном. А я вот взялся до знакомства, и знаете, где я застопорился? Да прямо на первой странице, где давалось определение топологии. Нет, на самом деле, это и еще несколько определений мне удалось вызубрить, но те вещи, которые стояли за определениями, я более-менее почувствовал, только когда познакомился с анализом, своими руками доказал, что для непрерывной функции на $\mathbb R$ прообраз открытого множества$-$ открыт и т. д. Ну и большую часть того вызубренного кусочка общей топологии я, конечно, забыл. Выходит, раннее знакомство с общей топологией было для меня неэффективным, если не сказать $-$ бесполезным.

Так что браться за общую топологию, не зная матана $-$ дело весьма сомнительное. Но ведь есть и третья альтернатива: учить их параллельно. ТС может поэкспериментировать с этим.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1177400 писал(а):

Общематематических сведений из теории множеств не так много, и думается, их и на семестровый курс не хватит (это суждения за пределами компетенции, если что, и не знаток разнообразия учебников), хотя я их и не видел собранными всеми в одном месте в нестрашном учебнике.

Вы смотрели Вавилова Mengenlehre?

-- 16.12.2016 15:15:09 --

SomePupil в сообщении #1177405 писал(а):

Видимо, предполагается наличие общей математической культуры.

Это слова, которые ничего не значат.

-- 16.12.2016 15:16:11 --

knizhnik
Замечания я буду принимать от кого-то более компетентного, чем вы.

[Anton_Peplov]

SomePupil в сообщении #1177508 писал(а):

Это Вы, наверное, учили общую топологию все-таки после знакомства с матаном.

Если точнее, я был знаком с азами метрических пространств и соответствующими определениями: "открытое множество - это объединение открытых шаров" и т.д. Да, это мне помогло. Если бы я писал учебник по общей топологии, я бы в первом же параграфе, сразу после определения топологии, дал определение ее базы. А в следующем параграфе вводилось бы понятие метрического пространства, открытого шара и доказывалось, что открытые шары образуют базу топологии. Ну а $\mathbb R$ рассматривалось бы как важный частный случай метрического пространства.

Что касается определения непрерывности для функций $\mathbb R \to \mathbb R$, как оно дается в учебниках матана - то да, к этому времени я был с ним знаком, но я не чувствую, чтобы оно помогло мне понять топологию. Впрочем, у разных людей голова устроена по-разному. Я вообще недолюбливаю анализ - не в том смысле, что считаю его какой-то "второстортной" наукой, а в том, что он мне трудно дается. Я клятый алгебраист по складу мышления.

[Munin]

Я смысл слов "общая топология" узнал очень поздно, и до сих пор считаю, что это предмет, имеющий очень мало общего со словом "топология". А то, что называется словом "топология", также может снабжаться эпитетами "алгебраическая", "дифференциальная", "комбинаторная". Наука о сферах и бубликах, и листах Мёбиуса, и всяком таком.