шарик в чашке

[Salvador]

Проекция траектории любой точки, начальная скорость которой равна нулю, на плоскость $Oxy$ является интергальной кривой поля $-\frac1{1+f_x^2+f_y^2}\nabla f$. Следовательно, любая траектория проходит через точку минимума $f$. А это означает, что любая точка, опущенная с края, снова поднимится на высоту $h$.

Интересно, что все точки обязательно проходят через "низ" чашки, и ни одна не может "кружиться" по чашке, никогда не поднимаясь на край.

Если формулировка задачи точна, то я, судя по всему, где-то ошибся

[Профессор Снэйп]

Salvador писал(а):

Проекция траектории любой точки, начальная скорость которой равна нулю, на плоскость $Oxy$ является интергальной кривой поля $-\frac1{1+f_x^2+f_y^2}\nabla f$. Следовательно, любая траектория проходит через точку минимума $f$. А это означает, что любая точка, опущенная с края, снова поднимится на высоту $h$.

Интересно, что все точки обязательно проходят через "низ" чашки, и ни одна не может "кружиться" по чашке, никогда не поднимаясь на край.

Если формулировка задачи точна, то я, судя по всему, где-то ошибся

Непонятно, где Вы используете выпуклость.

А если выпуклость не требовать, то можно в чаше сделать канавку, заворачивающую шар по кругу (типа как трасса для бобслея). И он по этой канавке будет крутиться.

[Юстас]

Посмотрите что происходит, когда чаша имеет форму тетраэдра острием вниз: попав на стык граней, он получает горизонтальную скорость. Теперь можно тетраэдр сгладить, что картину не меняет. В данном случае искомых точки 4 - основания высот на соответствующих гранях.

[Профессор Снэйп]

Юстас писал(а):

Теперь можно тетраэдр сгладить, что картину не меняет. В данном случае искомых точки 4 - основания высот на соответствующих гранях.

Почему 4, разве не 6?

Но принцип да, понятен.

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Если в основе тетраэдра квадрат то тогда уже 8 точек. 4 основания высот, и 4 сглаженных ребра

Насчет вашего примера с положительными точками края и отрицательными, уже видно, что тетраэдр это опровергает, если сбросить шарик из основания высоты грани, то он поднимется в итоге опять на высоту $h$, но если отступить на некоторое растояние, то в одном случае он будет закручиваться влево, а в другом случае вправо.

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

Если в основе тетраэдра квадрат то тогда уже 8 точек. 4 основания высот, и 4 сглаженных ребра

По-моему, то, что с квадратом, называется не тетраэдр, а четырёхугольная пирамида. Тетраэдр по определению имеет треугольник в основании.

Хет Зиф писал(а):

Насчет вашего примера с положительными точками края и отрицательными, уже видно, что тетраэдр это опровергает, если сбросить шарик из основания высоты грани, то он поднимется в итоге опять на высоту $h$, но если отступить на некоторое растояние, то в одном случае он будет закручиваться влево, а в другом случае вправо.

Как раз не опровергает, а подтверждает.

Перечитайте моё сообщение. Я утверждал, что знак каждой точки края постоянен в случае, когда шарик, отпущенный из любой точки края, никогда не поднимается на высоту $h$. Далее предлагалось искать противоречие между постоянством знака и выпуклостью.

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Откуда ясно, что вектор скорости в точке наивысшего подъема непрерывно зависит от точки старта? Тоесть, как бы это интуитивно понятно, но как это следует математически?

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Впринципе ваше рассуждение похоже на решение, теперь просто остается доказать что:
1) переход между + и - это и есть искомая точка - это следует из непрерывности вектора скорости по начальным условиям.
2) она всегда существует, или что тоже самое не может быть полностью положительных или полностью отрицательных оснований

Добавлено спустя 13 минут 46 секунд:

Причем скорее всего в первом пункте для доказательства нужно использовать гладкость функции $f$. А во втором ее выпуклость

[Профессор Снэйп]

На самом деле не всё так просто.

Может произойти следующая ситуация: небольшое смещение начального положения по краю чаши приводит к скачкообразному переносу точки максимального подъёма в другую часть чаши.

Тут надо не точку максимального подъёма смотреть, а что-то другое (хотя, может быть, похожее)... Непонятно всё это очень, непонятно....

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
Я уже, правда, забыл все теоремы диф. уравнений. Но я думаю рассуждать нужно так: движение шарика описывается системой диф. уравнений, нелинейных конечно, вида $\dot{\vec v} = F(f'_{x},f'_{y})$, с начальным условием $\vec v = 0$, $h=f(x_{0},y_{0})$. Причем функции $f'_{x},f'_{y}$ непрерывны. Следует ли отсюда непрерывность решения по начальным условиям, если следует, то скачка по идее не может быть

[Профессор Снэйп]

Хет Зиф писал(а):

Следует ли отсюда непрерывность решения по начальным условиям, если следует, то скачка по идее не может быть

Я верю в непрерывность решения по начальным условиям, но... скачок максимума может иметь место даже при наличии этой непрерывности. Представьте, что шар качается в чашке по типу маятника: чуть-чуть сдвинули начальные условия --- левая граница колебаний стала чуть выше правой, сдвинули в другую сторону --- наоборот, правая выше левой! Непрерывная зависимость есть, а максимум скачет с одного конца на другой!

[Хет Зиф]

Профессор Снэйп
А в чем скачок? Вот например у нас просто параболичская чашка $z=x^2+y^2$, как ваш пример не нее перенести?

Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду:

Че то я не очень понимаю, ну пока мы сдвигали граничные условия мы должны были пройти через точку где левая граница равна правой?

[TOTAL]

Хет Зиф писал(а):

Профессор Снэйп
Я уже, правда, забыл все теоремы диф. уравнений. Но я думаю рассуждать нужно так: движение шарика описывается системой диф. уравнений, нелинейных конечно, вида $\dot{\vec v} = F(f'_{x},f'_{y})$, с начальным условием $\vec v = 0$, $h=f(x_{0},y_{0})$. Причем функции $f'_{x},f'_{y}$ непрерывны. Следует ли отсюда непрерывность решения по начальным условиям, если следует, то скачка по идее не может быть

Почему во всех появляющихся здесь уравнениях отсутствует кривизна (вектор)? От нее и от скорости (плюс сила тяжести) зависит суммарная сила, действующая на шарик. Эта сила не обязаня быть непрерывной (кривизна не непрерывна). Шарик при первом же качке выйдет на кромку, если на всей линии его движения кривизна лежит в одной плоскости.

[Хет Зиф]

TOTAL
Почему отсутствует, я же не пишу явные формулы, кривизна должна сидеть в функции $\vec F(x,y)$ . А кривизна не обязанна быть непрерыно - это следует из того что вторая производная $f$ не обязанна быть непрерывной?

[TOTAL]

Хет Зиф писал(а):

TOTALА кривизна не обязанна быть непрерыно - это следует из того что вторая производная $f$ не обязанна быть непрерывной?

Это ниоткуда не следует. Это надо указать в условии. А там говортся, что поверхность гладкая. Мне кажется, что и для негладкой выпуклой поверхности утверждение будет настолько же верно (от прямых и острых углов разрешаем шарику отражаться)

[Хет Зиф]

TOTAL
Для не гладких неверно