2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 17:28 


15/12/16
13
Доказать эрмитовость оператора $x\hat{p_x}$ при $\psi(\pm\infty)=0$
Удалось доказать для разных $\psi$, для одинаковых получаю следующее:$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}i\hbar\Psi(\hat{p_x}\Psi)^*dx+i\hbar$$
Решаю так:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\hbar x)\frac{\partial}{\partial x} \Psi dx$$
По частям:
$$-i\hbar(\Psi^* x \Psi |_{-\infty}^{+\infty}-\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi \frac{\partial (\Psi^* x)}{\partial x} dx)$$
Первое слагаемое в скобках зануляется, второе преобразую:
$$i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x \frac{\partial (\Psi^*)}{\partial x}+\Psi^*)dx
Раскрываю интеграл суммы как сумму интегралов:
$$i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi x \frac{\partial}{\partial x}\Psi dx+i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi \Psi^* dx
Второй интеграл - нормировочный, остаётся:
$$i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x\hat{p_x}\Psi)^*dx+i\hbar$$
Что не доказывает эрмитовость

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.12.2016, 17:37 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.12.2016, 19:13 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11352
Hogtown
Доказать или проверить? Потому что оператор неэрмитов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Какая замечательная задача! Откуда Вы ее взяли? Попробуйте для начала сосчитать $(\hat{x}\hat{p_x})^+$, считая $\hat{x}$ и $\hat{p_x}$ самосопряженными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 19:51 


15/12/16
13
Red_Herring в сообщении #1177293 писал(а):
Доказать или проверить? Потому что оператор неэрмитов.

Доказать. Источник задачи - https://goo.gl/qtJri9(сокращённая ссылка на ЯДиск)№3.17, с. 38, но в моём условии (если это важно) не указывается обращение производных в нуль на бесконечностях (задача была выдана на КР)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
n123 в сообщении #1177299 писал(а):
Доказать.
amon в сообщении #1177294 писал(а):
Попробуйте для начала сосчитать $(\hat{x}\hat{p_x})^+$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 19:55 


15/12/16
13
Пользуюсь определением эрмитовости из того же источника: Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
Чему равно $(\hat{A}\hat{B})^+$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 20:04 


15/12/16
13
amon в сообщении #1177305 писал(а):
Чему равно $(\hat{A}\hat{B})^+$ ?

Я правильно понимаю, что это разные "форматы" записи сопряжения?
Тогда $$(\hat{A}\hat{B})^*=\hat{B}^* \hat{A}^*$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
n123 в сообщении #1177307 писал(а):
$(\hat{A}\hat{B})^*=\hat{B}^* \hat{A}^*$
Бинго! Теперь воспользуйтесь этим знанием, и с третьей попытки сосчитайте $(\hat{x}\hat{p_x})^*$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 21:27 


15/12/16
13
amon в сообщении #1177313 писал(а):
n123 в сообщении #1177307 писал(а):
$(\hat{A}\hat{B})^*=\hat{B}^* \hat{A}^*$
Бинго! Теперь воспользуйтесь этим знанием, и с третьей попытки сосчитайте $(\hat{x}\hat{p_x})^*$

Честно говоря, я в недоумении: ехал домой с работы, думая, что сейчас много времени на это дело уйдет, но оказалось совсем не так (если я прав, конечно)
Получаем так: $(\hat{x}\hat{p_x})^+=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}x$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5290
ФТИ им. Иоффе СПб
n123 в сообщении #1177328 писал(а):
$(\hat{x}\hat{p_x})^+=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}x$
Угу. Только можно еще проще: $(\hat{x}\hat{p}_x)^+=\hat{p}_x\hat{x}$. Теперь последний (надеюсь) сократический вопрос. Скажите, $\hat{x}\hat{p}_x$ равно $\hat{p}_x\hat{x}$? И, если, не дай бог, не равно, что из этого следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение15.12.2016, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11352
Hogtown
n123 в сообщении #1177328 писал(а):
Получаем так:

А чему равен $\hat{p}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать эрмитовость оператора
Сообщение16.12.2016, 00:54 


15/12/16
13
Red_Herring в сообщении #1177375 писал(а):
n123 в сообщении #1177328 писал(а):
Получаем так:

А чему равен $\hat{p}$?

$$\hat{p_x}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$

-- 16.12.2016, 01:13 --

amon в сообщении #1177340 писал(а):
n123 в сообщении #1177328 писал(а):
$(\hat{x}\hat{p_x})^+=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}x$
Угу. Только можно еще проще: $(\hat{x}\hat{p}_x)^+=\hat{p}_x\hat{x}$. Теперь последний (надеюсь) сократический вопрос. Скажите, $\hat{x}\hat{p}_x$ равно $\hat{p}_x\hat{x}$? И, если, не дай бог, не равно, что из этого следует?


Запутался, если честно: не понимаю, почему $(\hat{x}\hat{p}_x)^+=\hat{p}_x\hat{x}$, ведь $\hat{F}\hat{G}=\hat{G}\hat{F}+[\hat{F}\hat{G}]$, тогда $\hat{x} \hat{p_x}=\hat{p_x} \hat{x}+i\hbar$, соответственно, $\hat{p_x} \hat{x}=\hat{x} \hat{p_x}-i\hbar\ne (\hat{x}\hat{p}_x)^+$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group