Доказать эрмитовость оператора

[n123]

Доказать эрмитовость оператора $x\hat{p_x}$ при $\psi(\pm\infty)=0$
Удалось доказать для разных $\psi$, для одинаковых получаю следующее:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}i\hbar\Psi(\hat{p_x}\Psi)^*dx+i\hbar$$

Решаю так:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi^*(-i\hbar x)\frac{\partial}{\partial x} \Psi dx$$

По частям:

$$-i\hbar(\Psi^* x \Psi |_{-\infty}^{+\infty}-\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi \frac{\partial (\Psi^* x)}{\partial x} dx)$$

Первое слагаемое в скобках зануляется, второе преобразую:
$$i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x \frac{\partial (\Psi^*)}{\partial x}+\Psi^*)dx
Раскрываю интеграл суммы как сумму интегралов:
$$i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi x \frac{\partial}{\partial x}\Psi dx+i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi \Psi^* dx
Второй интеграл - нормировочный, остаётся:

$$i\hbar\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x\hat{p_x}\Psi)^*dx+i\hbar$$

Что не доказывает эрмитовость

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Red_Herring]

Доказать или проверить? Потому что оператор неэрмитов.

[amon]

Какая замечательная задача! Откуда Вы ее взяли? Попробуйте для начала сосчитать $(\hat{x}\hat{p_x})^+$, считая $\hat{x}$ и $\hat{p_x}$ самосопряженными.

[n123]

Red_Herring в сообщении #1177293 писал(а):

Доказать или проверить? Потому что оператор неэрмитов.

Доказать. Источник задачи - https://goo.gl/qtJri9(сокращённая ссылка на ЯДиск)№3.17, с. 38, но в моём условии (если это важно) не указывается обращение производных в нуль на бесконечностях (задача была выдана на КР)

[amon]

n123 в сообщении #1177299 писал(а):

Доказать.

amon в сообщении #1177294 писал(а):

Попробуйте для начала сосчитать $(\hat{x}\hat{p_x})^+$

[n123]

Пользуюсь определением эрмитовости из того же источника:

[amon]

Чему равно $(\hat{A}\hat{B})^+$ ?

[n123]

amon в сообщении #1177305 писал(а):

Чему равно $(\hat{A}\hat{B})^+$ ?

Я правильно понимаю, что это разные "форматы" записи сопряжения?
Тогда

$$(\hat{A}\hat{B})^*=\hat{B}^* \hat{A}^*$$

[amon]

n123 в сообщении #1177307 писал(а):

$(\hat{A}\hat{B})^*=\hat{B}^* \hat{A}^*$

Бинго! Теперь воспользуйтесь этим знанием, и с третьей попытки сосчитайте $(\hat{x}\hat{p_x})^*$

[n123]

amon в сообщении #1177313 писал(а):

n123 в сообщении #1177307 писал(а):

$(\hat{A}\hat{B})^*=\hat{B}^* \hat{A}^*$

Бинго! Теперь воспользуйтесь этим знанием, и с третьей попытки сосчитайте $(\hat{x}\hat{p_x})^*$

Честно говоря, я в недоумении: ехал домой с работы, думая, что сейчас много времени на это дело уйдет, но оказалось совсем не так (если я прав, конечно)
Получаем так: $(\hat{x}\hat{p_x})^+=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}x$ ?

[amon]

n123 в сообщении #1177328 писал(а):

$(\hat{x}\hat{p_x})^+=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}x$

Угу. Только можно еще проще: $(\hat{x}\hat{p}_x)^+=\hat{p}_x\hat{x}$. Теперь последний (надеюсь) сократический вопрос. Скажите, $\hat{x}\hat{p}_x$ равно $\hat{p}_x\hat{x}$? И, если, не дай бог, не равно, что из этого следует?

[Red_Herring]

n123 в сообщении #1177328 писал(а):

Получаем так:

А чему равен $\hat{p}$?

[n123]

Red_Herring в сообщении #1177375 писал(а):

n123 в сообщении #1177328 писал(а):

Получаем так:

А чему равен $\hat{p}$?

$$\hat{p_x}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$$

-- 16.12.2016, 01:13 --

amon в сообщении #1177340 писал(а):

n123 в сообщении #1177328 писал(а):

$(\hat{x}\hat{p_x})^+=i\hbar\frac{\partial}{\partial x}x$

Угу. Только можно еще проще: $(\hat{x}\hat{p}_x)^+=\hat{p}_x\hat{x}$. Теперь последний (надеюсь) сократический вопрос. Скажите, $\hat{x}\hat{p}_x$ равно $\hat{p}_x\hat{x}$? И, если, не дай бог, не равно, что из этого следует?

Запутался, если честно: не понимаю, почему $(\hat{x}\hat{p}_x)^+=\hat{p}_x\hat{x}$, ведь $\hat{F}\hat{G}=\hat{G}\hat{F}+[\hat{F}\hat{G}]$, тогда $\hat{x} \hat{p_x}=\hat{p_x} \hat{x}+i\hbar$, соответственно, $\hat{p_x} \hat{x}=\hat{x} \hat{p_x}-i\hbar\ne (\hat{x}\hat{p}_x)^+$