равномерная непрерывность и условие Липшища

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1172553 писал(а):

потому что так задана функция.

Это не обоснование. В обосновании должно как-то использоваться определение предела.

Aiyyaa в сообщении #1172553 писал(а):

Почему неправда?

Потому что утверждение $\lim\limits_{x \to 3} \{x\} = 1$ неверно. Что легко увидеть из графика.

[Lia]

Aiyyaa в сообщении #1172553 писал(а):

Предел функции стремится к 1

Нет.

Aiyyaa
Все дело в том, что задачи, которые Вы несете сюда, нуждаются в ликвидации пробелов Вашего образования минимум в объеме последних двух лет. Форумные страницы для этого не предназначены.

Приведите, для начала, отображение вещественной прямой в себя, которое является
a)непрерывным;
б)равномерно-непрерывным;
в) удовлетворяющим условию Липшица;

а также примеры отображений, являющихся чем-то одним, но не другим, например. Все - с обоснованием. Тема идет в Карантин.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Стартовый пост был изменен, в связи с чем возможна некоторая потеря связности.

[mihaild]

(занудство)

Aiyyaa в сообщении #1172502 писал(а):

все элементарные функции являются непрерывными

Тангенс обычно относят к элементарным функциям.

Aiyyaa в сообщении #1172502 писал(а):

на каком-либо отрезке $(a,b)\in (0;\infty)$ функция является равномерно-непрерывной

Отрезок обозначается как $[a; b]$, и там должно быть $\subset$ - отрезок обычно не является элементом прямой.

Aiyyaa в сообщении #1172502 писал(а):

если взять в качестве $\delta=\frac{\varepsilon}{x}$,

Так не работает. Доказывая отсутствие равномерной непрерывности, нужно доказать что-то (что?) для любого $\delta$, а не выбирая его самостоятельно (можно, конечно, взять готовое $\delta$, а потом выбрать $x$, чтобы представить его в таком виде, но про это нужно говорить)

Aiyyaa в сообщении #1172502 писал(а):

чтобы функция удовлетворяла условию Липшица, её первая производная должна быть ограничена

Неправда, бывают не всюду дифференцируемые липшицевы функции.

Aiyyaa в сообщении #1172502 писал(а):

Единственными функциями, которые удовлетворяют условию Липшица на $R$, являются функции вида $y=kx+b$,

А что, функций кроме $с x^a + b$, не бывает?

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1174752 писал(а):

Неправда, бывают не всюду дифференцируемые липшицевы функции.

можно пример такой функции?

mihaild в сообщении #1174752 писал(а):

А что, функций кроме $с x^a + b$, не бывает?

но я про линейные функции вида $y=kx+b$

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1174753 писал(а):

можно пример такой функции?

А какие примеры непрерывных недифференцируемых функций вы знаете?

Aiyyaa в сообщении #1174753 писал(а):

но я про линейные функции вида $y=kx+b$

Тогда нужно указывать, из какого множества только функции указанного вами вида - липшицевы.

К исходному вопросу - представьте функцию в виде суммы двух, как вам советовал DeBill. И подумайте, что можно сказать про непрерывность/равномерную непрерывность/липшицевость суммы.

[Aiyyaa]

то есть отображение $Fx=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$ нужно представить в виде $F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},0,...)$, которое переводит второй член последовательности из пространства $l_2$ в $\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)}$, а остальные члены последовательности в 0, и $F_2 x=(0,0,\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$, которая применяется ко всем элементам последовательности, кроме 1 и 2-го, которые это отображение переводит в 0?

[mihaild]

Выписаны верно, описаны неверно (оба отображения действуют из $l_2$ в $l_1$).

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1174763 писал(а):

оба отображения действуют из $l_2$ в $l_1$

и что? я не понимаю, где в моём описании ошибка.

[mihaild]

Ну например

Aiyyaa в сообщении #1174758 писал(а):

которое переводит второй член последовательности из пространства $l_2$ в $\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)}$,

Но это неважно. Формулы у вас написаны правильно. Вопрос, что делать дальше с этим представлением.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1174766 писал(а):

которое переводит второй член последовательности из пространства $l_2$ в $\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)}$

в чём ошибка?

mihaild в сообщении #1174766 писал(а):

Вопрос, что делать дальше с этим представлением.

я не знаю, что делать.

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1174767 писал(а):

в чём ошибка?

В том, что $F_1$ действует на $l_2$, а не на члены каких-то последовательностей. Можно сказать, что оно куда-то переводит $e_2$, но не $x(2)$.

Aiyyaa в сообщении #1174767 писал(а):

я не знаю, что делать.

mihaild в сообщении #1174757 писал(а):

И подумайте, что можно сказать про непрерывность/равномерную непрерывность/липшицевость суммы.

[Aiyyaa]

mihaild в сообщении #1174782 писал(а):

Можно сказать, что оно куда-то переводит $e_2$, но не $x(2)$.

а что такое $e_2$?

[mihaild]

Aiyyaa в сообщении #1174953 писал(а):

а что такое $e_2$?

$e_2 = (0, 1, 0, \ldots) \in l_2$