Поле от источника распространяется мгновенно
Нет, на практике оно распространяется весьма медленно (кроме сверхвысокочастотных электрических приборов), и за то время, когда оно успевает распространиться, заряды успевают последовать ему.
Кроме того, распространение поля не может быть быстрее скорости света
Реально электростатика - это упрощение от электродинамики, а в уравнения электродинамики напрямую вписана эта скорость (в системе СИ - немного замаскированно), и решения этих уравнений дают самый быстрый способ распространения поля - электромагнитную волну. Она же световая волна. А если ввести условие, что поля изменяются медленно и постепенно, то уравнения можно упростить - но надо помнить, что упрощённые уравнения будут справедливо работать только при соблюдении этого условия.