2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А Вы разве доказали, что это все возможные модули?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 14:17 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
ikozyrev в сообщении #1173569 писал(а):
зачем тогда нам нужно строить линейное отображение?

Чтобы убедиться, что других нет.
ikozyrev в сообщении #1173569 писал(а):
Разве не будут эти модули ответом к задаче?

Нет, потому что один из них - пятимерный (если мы, конечно, крестиком обозначаем прямое произведение, а не тензорное: размерности при этом складываются, а не умножаются), и есть еще кучка других.
ikozyrev в сообщении #1173569 писал(а):
мы вроде бы уже пошли другим путем

Параллельным. Второй путь позволяет строить более конкретные примеры.
И Вы так и не сделали Упражнения. И не описали все нильпотентные жордановы нормальные формы матриц шестого порядка....

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 15:21 


31/03/16
209
DeBill в сообщении #1173588 писал(а):
Параллельным. Второй путь позволяет строить более конкретные примеры.
И Вы так и не сделали Упражнения. И не описали все нильпотентные жордановы нормальные формы матриц шестого порядка....

Ок. Просто нужно время на осознание.
Упражнения сделаю обязательно.
Будут еще вопросы :)

-- 02.12.2016, 16:26 --

DeBill в сообщении #1173588 писал(а):
Нет, потому что один из них - пятимерный (если мы, конечно, крестиком обозначаем прямое произведение, а не тензорное: размерности при этом складываются, а не умножаются), и есть еще кучка других

Да, точно пятимерный...Получается что шестимерный мы не можем разложить в прямое произведение модулей меньших размерностей?
$2\times2\times2$ ведь не подходит, потому что они не взаимнопросты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 18:17 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
ikozyrev в сообщении #1173600 писал(а):
$2\times2\times2$ ведь не подходит

Почему? Подходит: $2+2+2 = 6$. Это соответствует, кстати, матрице, у которой три жордановы клетки размера два на два (с нулями на диагонали)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 19:02 


31/03/16
209
Ну в общем случае для нильпотентного оператора ЖНФ будет следующего вида:
$$\begin{pmatrix}
 0&1&0&0&0&0 \\
 0&0&1&0&0&0 \\
 0&0&0&1&0&0 \\
 0&0&0&0&1&0 \\
 0&0&0&0&0&1 \\
 0&0&0&0&0&0 \\ 
\end{pmatrix}$$

Но у меня вопрос про нильпотентность. Почему они должны быть нильпотентны?
Возьмем $V=\mathbb R^6$ и оператор $\mathcal{A}: V\to V, \mathcal{A}=xv, x\in \mathbb R$, тогда $V$ будет модулем над кольцом формальных степенных рядов $\mathbb R[[x]]= \mathbb R[[\mathcal{A}]] = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+...$, так как умножение вектора $v$ на элемент этого кольца будет корректно определено и будет лежать в $V$. Очевидно, что $\mathcal{A}$ не нильпотентен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ikozyrev в сообщении #1173663 писал(а):
этого кольца будет корректно определено

И как же оно определено в случае ряда $a_i = 2^{2^i}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 19:12 


31/03/16
209
kp9r4d в сообщении #1173664 писал(а):
ikozyrev в сообщении #1173663 писал(а):
этого кольца будет корректно определено

И как же оно определено в случае ряда $a_i = 2^{2^i}$?


Хммм, да, это я с обычными многочленами попутал. Действительно нильпотентность должна присутствовать.

-- 02.12.2016, 20:20 --

Получется что ЖНФ для неизомофрных нильпотентных операторов будут:

Для $M_6$:
$$\begin{pmatrix}
 0&1&0&0&0&0 \\
 0&0&1&0&0&0 \\
 0&0&0&1&0&0 \\
 0&0&0&0&1&0 \\
 0&0&0&0&0&1 \\
 0&0&0&0&0&0 \\ 
\end{pmatrix}$$

Для $M_2\times M_2 \times M_2$:
$$\begin{pmatrix}
 0&1&0&0&0&0 \\
 0&0&0&0&0&0 \\
 0&0&0&1&0&0 \\
 0&0&0&0&0&0 \\
 0&0&0&0&0&1 \\
 0&0&0&0&0&0 \\ 
\end{pmatrix}$$

Для $M_4\times M_2$:
$$\begin{pmatrix}
 0&1&0&0&0&0 \\
 0&0&1&0&0&0 \\
 0&0&0&1&0&0 \\
 0&0&0&0&0&0 \\
 0&0&0&0&0&1 \\
 0&0&0&0&0&0 \\ 
\end{pmatrix}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 20:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
ikozyrev
Совершенно верно! Надо еще только помнить, что бывает жорданова клетка один на один - из одного только нуля
(такому подмодулю соответствует фактор по максимальному идеалу $I_1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 20:43 


31/03/16
209
DeBill в сообщении #1173690 писал(а):
ikozyrev
Совершенно верно! Надо еще только помнить, что бывает жорданова клетка один на один - из одного только нуля
(такому подмодулю соответствует фактор по максимальному идеалу $I_1$)

Да, я тоже об этом подумал. Уффф...задачка то довольно простая после того как с ней разобрался. Тут про нильпотентность ключевая штука, хотя и почти очевидная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модули над формальными степенными рядами
Сообщение02.12.2016, 20:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2317
:D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group