Модули над формальными степенными рядами

[ikozyrev]

Решаю следующую задачу:
Сколько существует попарно неизоморфных друг другу $k[[x]]$ -модулей, размерность которых, как векторных пространств над $k$ равна шести?

Вопрос следующий - что такое $k[[x]]$ -модуль?
Правильно ли я понимаю, что это векторное пространство $V$ над $k$, в котором выделяем линейный оператор $\mathcal{A}$, и тогда струкутра $k[[x]]$ -модуля будет определеяться выражением: $P(x)v=P(\mathcal{A})v = \alpha_0 v+\alpha_1 \mathcal{A} v+....+\alpha_n \mathcal{A}^n v+...$?
Но тогда, разных неизоморфных модулей такого типа будет столько же сколько существует неизоморфных операторов в $V$?

[DeBill]

ikozyrev
$k[[x]]-$ модуль - это, видимо, модуль над кольцом формальных степенных рядов (с коэф-тами из $k$).
Примеры: $M_1 =k[[x]], M_2 =M_1/<x^2\cdot M_1>$ - фактор кольца $M_1$ по идеалу $I_2 = x^2\cdot M_1$ (состоящему, т.о., из рядов без свободного и линейного членов), $M_3 = M_1/<x^3\cdot M_1>$, $M_4 = M_2\times M_3$. Ну, и какие у них размерности - как у векторных пространств над $k$ ?

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1173147 писал(а):

ikozyrev
$k[[x]]-$ модуль - это, видимо, модуль над кольцом формальных степенных рядов (с коэф-тами из $k$).
Примеры: $M_1 =k[[x]], M_2 =M_1/<x^2\cdot M_1>$ - фактор кольца $M_1$ по идеалу $I_2 = x^2\cdot M_1$ (состоящему, т.о., из рядов без свободного и линейного членов), $M_3 = M_1/<x^3\cdot M_1>$, $M_4 = M_2\times M_3$. Ну, и какие у них размерности - как у векторных полей над $k$ ?

Бесконечные размерности. Ибо степенные ряды могут иметь бесконечное число членов с разными степенями и коэффициентами.

-- 01.12.2016, 00:37 --

ikozyrev в сообщении #1173156 писал(а):

DeBill в сообщении #1173147 писал(а):

ikozyrev
$k[[x]]-$ модуль - это, видимо, модуль над кольцом формальных степенных рядов (с коэф-тами из $k$).
Примеры: $M_1 =k[[x]], M_2 =M_1/<x^2\cdot M_1>$ - фактор кольца $M_1$ по идеалу $I_2 = x^2\cdot M_1$ (состоящему, т.о., из рядов без свободного и линейного членов), $M_3 = M_1/<x^3\cdot M_1>$, $M_4 = M_2\times M_3$. Ну, и какие у них размерности - как у векторных полей над $k$ ?

Бесконечные размерности. Ибо степенные ряды могут иметь бесконечное число членов с разными степенями и коэффициентами.

Хотя это зависит от кольца $k$ . Если это кольцо из 6-ти элементов, то они будут 6-мерными наверное :)

[DeBill]

ikozyrev в сообщении #1173156 писал(а):

Бесконечные размерности.

$M_1$ - да.
Но в $M_2$ базисом является пара элементов $1,x$, так что - размерность его над $k$ равна 2....

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1173171 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1173156 писал(а):

Бесконечные размерности.

$M_1$ - да.
Но в $M_2$ базисом является пара элементов $1,x$, так что - размерность его над $k$ равна 2....

Вот этот момент я честно говоря не понял.
$M_2$ будет иметь вид: $a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n...$, то есть у него по прежнему бесконечное количество членов и коэффициентов, почему же он будет иметь размерность 2 над $k$?

[Otta]

ikozyrev в сообщении #1173217 писал(а):

$M_2$ будет иметь вид: $a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n...$, то есть у него по прежнему бесконечное количество членов и коэффициентов, почему же он будет иметь размерность 2 над $k$?

Вы написали не элемент $M_2$, а элемент $I_2$. А $M_2$ - это $M_1/I_2$. И всякий формальный ряд можно записать в виде элемент идеала плюс $a_0 +a_1x$. Так из чего же состоит фактор?

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173238 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1173217 писал(а):

$M_2$ будет иметь вид: $a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n...$, то есть у него по прежнему бесконечное количество членов и коэффициентов, почему же он будет иметь размерность 2 над $k$?

Вы написали не элемент $M_2$, а элемент $I_2$. А $M_2$ - это $M_1/I_2$. И всякий формальный ряд можно записать в виде элемент идеала плюс $a_0 +a_1x$. Так из чего же состоит фактор?

Да, спасибо, действительно это я идеал написал. А фактор будет тогда действительно состоять из линейных многочленов, так что размерность $M_2$ над полем $k$ будет 2. Но будет ли $M_2$ модулем над $k[[x]]$? Ведь модуль должен быть замкнут относительно умножения на элемент кольца, а в данном случае линейный многочлен умноженный на произвольный ряд не будет линейным многочленом?

[Otta]

А как Вы понимаете, что такое элемент $x$ из факторкольца?

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173272 писал(а):

А как Вы понимаете, что такое элемент $x$ из факторкольца?

Я так понимаю что в данном случае это будет $a_0+a_1x$ или я не прав?

[Otta]

Нет. Неплохо бы Вам прочитать хотя бы определения всех объектов, которые участвуют в задаче.

[Xaositect]

А дайте-ка определение фактор-кольца.

[ikozyrev]

Xaositect в сообщении #1173294 писал(а):

А дайте-ка определение фактор-кольца.

Ну это множество классов смежности элементов кольца по некоторому идеалу.
Например для факторкольца $\mathbb Z/5 \mathbb Z$ это будет 5 классов смежности, соответственно это фактор-кольцо будет состоять из 5 элементов.
Но вот для $k[[x]]$ кольца я не могу так сразу понять что такое будет факторкольцо. Поэтому и прошу помочь разобраться.

-- 01.12.2016, 14:28 --

ikozyrev в сообщении #1173296 писал(а):

Xaositect в сообщении #1173294 писал(а):

А дайте-ка определение фактор-кольца.

Ну это множество классов смежности элементов кольца по некоторому идеалу.
Например для факторкольца $\mathbb Z/5 \mathbb Z$ это будет 5 классов смежности, соответственно это фактор-кольцо будет состоять из 5 элементов.
Но вот для $k[[x]]$ кольца я не могу так сразу понять что такое будет факторкольцо. Поэтому и прошу помочь разобраться.

Грубо говоря, в данном случае элементами факторкольца должны быть все остатки от деления $k[[x]]$ на фактор, то есть на идеал порожденный $x^2$. Но такие остатки и есть элементы вида $a_0+a_1x$? или я что-то не понимаю?

[Otta]

ikozyrev

ikozyrev в сообщении #1173296 писал(а):

Ну это множество классов смежности элементов кольца по некоторому идеалу.
Например для факторкольца $\mathbb Z/5 \mathbb Z$ это будет 5 классов смежности, соответственно это фактор-кольцо будет состоять из 5 элементов.
Но вот для $k[[x]]$ кольца я не могу так сразу понять что такое будет факторкольцо.

Какая разница.

ikozyrev в сообщении #1173296 писал(а):

Например для факторкольца $\mathbb Z/5 \mathbb Z$ это будет 5 классов смежности, соответственно это фактор-кольцо будет состоять из 5 элементов.

Перечислите их все. Скажите, что будет входить в, например, третий Вами названный.

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173300 писал(а):

ikozyrev

ikozyrev в сообщении #1173296 писал(а):

Ну это множество классов смежности элементов кольца по некоторому идеалу.
Например для факторкольца $\mathbb Z/5 \mathbb Z$ это будет 5 классов смежности, соответственно это фактор-кольцо будет состоять из 5 элементов.
Но вот для $k[[x]]$ кольца я не могу так сразу понять что такое будет факторкольцо.

Какая разница.

ikozyrev в сообщении #1173296 писал(а):

Например для факторкольца $\mathbb Z/5 \mathbb Z$ это будет 5 классов смежности, соответственно это фактор-кольцо будет состоять из 5 элементов.

Перечислите их все. Скажите, что будет входить в, например, третий Вами названный.

$[0],[1],[2],[3],[4]$
В третий будут входить все числа, остаток деления на 5 которых будет 2.

[Otta]

То есть не только число два, но и....
А там - то же. Так что же такое элемент $x$ в том фактор-кольце?