Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное

[Mergandevinasander]

Здравствуйте, Уважаемые участники форума!

Задача: имеется множество функций
$ S = \left\{ \begin{array}{lr} f(x)\in C[a, b] & (1)\\ c\leqslant f(x) \leqslant d & (2)\\ f(b)=b & (3) \end{array} \right. $
доказать, что множество функций $S$ замкнутое и ограниченное.

Буду очень благодарен за любую наводку на какую-либо теорему/лемму, за любое разъяснение
или поправки моих перноначальных рассуждений и просто за Ваши мысли.

А пока что попробую проанализировать то, что нам дано.

Итак, согласно $(1)$ наши функции $f(x)$ лежат в $C[a, b]$, то есть являются непрерывными
функциями на отрезке $[a, b]$. Более того, согласно $(2)$ функции по оси $y$ ограничены
константами $c$ и $d$. И, наконец, согласно $(3)$ на правом конце отрезка $[a, b]$ они все приходят в точку $b$.

Суммируя всё это, можно нарисовать график (можно увеличить по клику),
где синим цветом обозначены функции $f(x)$:



Ну, вот, на этом я иссяк, буду рад услышать Ваши мысли

[Dan B-Yallay]

Mergandevinasander в сообщении #1169562 писал(а):

доказать, что множество функций $S$ замкнутое и ограниченное.

Можно начать с определений. Какое множество называется ограниченным?

[Brukvalub]

Mergandevinasander в сообщении #1169562 писал(а):

доказать, что множество функций $S$ замкнутое

Как определяется топология на этом множестве?

[Mergandevinasander]

Dan B-Yallay в сообщении #1169565 писал(а):

Можно начать с определений. Какое множество называется ограниченным?

Хорошо. У меня здесь как раз есть некоторое недопонимание.

Для многомерного случая: множество точек называется ограниченным, если существует сфера, целиком содержащая это множество. В частности, в одномерном случае это отрезок, в двумерном — окружность.

Но ведь, строго говоря, это определение для множество точек. Можно ли его применить для множества функций?

Brukvalub в сообщении #1169566 писал(а):

Как определяется топология на этом множестве?

Честно сказать, затрудняюсь ответить.

[Anton_Peplov]

Mergandevinasander в сообщении #1169587 писал(а):

Но ведь, строго говоря, это определение для множество точек. Можно ли его применить для множества функций?

Уууу, как все сложно...
Дайте-ка сюда, пжлст, определение метрического пространства. А потом я еще пару наводящих вопросов задам.

[Mergandevinasander]

Anton_Peplov в сообщении #1169588 писал(а):

Уууу, как все сложно...
Дайте-ка сюда, пжлст, определение метрического пространства. А потом я еще пару наводящих вопросов задам.

Окей. Метрическое пространство — пространство, в котором между любой парой элементов определено расстояние.

P.S. Извиняюсь за возможные элементарные вопросы, но как-то математика не укладывается в голове с первого раза.

[Anton_Peplov]

Mergandevinasander в сообщении #1169590 писал(а):

Окей. Метрическое пространство — пространство, в котором между любой парой элементов определено расстояние.

Незачёт. Неясно, что такое "пространство" и как его отличить от "не пространства". И Вы не определили, что такое расстояние. Приведите строгое определение метрического пространства. В учебник загляните, в конце концов.

[arseniiv]

(Ну даже, допустим, был бы и зачёт: и чему равно расстояние между функциями $f$ и $g$, взятыми из $C[a;b]$? А является ли $C[a;b]$ с таким расстоянием метрическим пространством — отдельный вопрос, который должен был перед заданием уже быть разобран, и почему нет следов — это уже третий вопрос, но можно при желании начать с первого.)

[Anton_Peplov]

arseniiv, ну Вы торопитесь. Тут человек, доучившись до функана, не понимает, что такое точка метрического пространства. Пока не поймет, обсуждать с ним последующие вопросы не просто бесполезно, но и вредно.

[arseniiv]

Потому и скобки.

[Mergandevinasander]

Anton_Peplov в сообщении #1169591 писал(а):

Незачёт. Неясно, что такое "пространство" и как его отличить от "не пространства". И Вы не определили, что такое расстояние. Приведите строгое определение метрического пространства. В учебник загляните, в конце концов.

Хорошо.

Метрическое пространство есть пара $(M, p)$, где $M$ — некоторое непустое множество, а $p$ — функция из $M \times M$ в $R^{+}$, которая удовлетворяет трем аксимомам (тождества, симметрии и треугольника). При этом функция $p$ называется метрикой (расстоянием).

[Anton_Peplov]

Вот теперь зачёт. Следующий наводящий вопрос: что называется точкой метрического пространства?

[Mergandevinasander]

Anton_Peplov, точкой метрического пространства $(M, p)$ называется элемент множества $M$.

[Anton_Peplov]

Отлично. Контрольный наводящий вопрос.
Пусть $M$ - множество всех слов русского языка, перечисленных в словаре Ожегова. Зададим функцию $\rho$ так:
- если слова $A$ и $B$ в точности совпадают, то $\rho(A, B) = 0$
- если слова $A$ и $B$ различаются, то $\rho(A, B) = 2^{-n}$, где $n$ - номер первой буквы, которой они различаются. Например, для слов "ядро" и "ярость" $n = 2$, потому что у одного вторая буква - "д", у другого - "р", это разные буквы.
- если слово $A$ длиной $k$ букв является в точности началом более длинного слова $B$ (как, например, для слов "баба" и "бабай"), то считается, что слова $A$ и $B$ различаются в $k+1$-й букве.

Внимание, вопрос (барабанная дробь):
является ли пара $(M, \rho)$ метрическим пространством?

Здесь мне интересен не ответ "да" или "нет", а ход рассуждений. Что Вы для этого будете проверять?

[Mergandevinasander]

Anton_Peplov, идем по определению: $M$ — некоторое множество (да), $p$ — функция из $M \times M$ в $R^{+}$ (да), которая удовлетворяет трем аксиомам (?). То есть, такая пара $(M, p)$ будет являться метрическим пространством, если мы докажем справедливость аксиом.

Аксиомы тождества и симметрии, очевидно, верны. С аксиомой треугольника чуть сложнее, но она тоже будет верна. Значит, пара $(M, p)$ является метрическим пространством.