Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное

[Anton_Peplov]

Отлично. Теперь я возвращаю Вам Вашу реплику.

Mergandevinasander в сообщении #1169587 писал(а):

Но ведь, строго говоря, это определение для множество точек. Можно ли его применить для множества функций?

Как бы Вы теперь ответили на такой вопрос?

[Mergandevinasander]

Anton_Peplov, можно.

[Dan B-Yallay]

Ну тогда применИте.

[Anton_Peplov]

Mergandevinasander, более того, процитированный мною Ваш вопрос некорректен в своей постановке. Потому что в определении ограниченного множества под "точками" понимаются не числа и не точки в смысле "школьной" геометрии. Под "точками" понимаются точки метрического пространства, а ими может быть все что угодно - числа, векторы, функции, слова, черти в ступах. Метрическое пространство делает метрическим пространством не природа его элементов, а наличие метрики, заданной на их множестве. Надеюсь, теперь это Вам понятно.

Возвращась к исходной задаче: для начала Вам надо ответить на вопрос, о каком метрическом пространстве идет речь. Что является множеством (его, кстати, также называют носителем) и какая задана метрика.

[Mergandevinasander]

Anton_Peplov, спасибо, теперь я это понимаю, именно из-за понятия "точки" у меня и была путаница.

Попробуем разобраться. Для начала, мы имеем дело с множеством $C[a, b]$, то есть с множеством
непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций. Подсмотрев в учебник, мы можем ввести метрику
как $p(f, \varphi) = \max\limits_{[a, b]} \left\lvert f(x)-\varphi(x) \right\rvert$, тогда пара $(C[a, b], p(f, \varphi))$ будет метрическим пространством.

[ewert]

Mergandevinasander в сообщении #1170568 писал(а):

мы можем ввести метрику
как $p(f, \varphi) = \max\limits_{[a, b]} \left\lvert f(x)-\varphi(x) \right\rvert$

Что представляет из себя сходимость последовательности функций $\{f_n\}$ к функции $f$ относительно этой метрики -- и как эта сходимость связана с поточечной (т.е. со сходимостью для каждого икса)?

[Mergandevinasander]

ewert в сообщении #1170572 писал(а):

Что представляет из себя сходимость последовательности функций $\{f_n\}$ к функции $f$ относительно этой метрики -- и как эта сходимость связана с поточечной (т.е. со сходимостью для каждого икса)?

Рискну предположить, что, взяв данную последовательность функций $\{f_n\}$, мы можем определить ее сходимость к функции $f$ с использованием упомянутой метрики $p(f, \varphi) = \max\limits_{[a, b]} \left\lvert f(x)-\varphi(x) \right\rvert$ следующим образом. Если $p(f, f_{n}) \to 0$ при $n \to \infty$, то последовательность $\{f_n\}$ сходится к функции $f$. Причем, исходя из определения данной метрики, сходимость будет как раз поточечной.

Но позвольте узнать, как это нам поможет в решении изначальной задачи?

[Brukvalub]

Mergandevinasander в сообщении #1170907 писал(а):

Если $p(f, f_{n}) \to 0$ при $n \to \infty$, то последовательность $\{f_n\}$ сходится к функции $f$.

Звучит как "масло масляное".

Mergandevinasander в сообщении #1170907 писал(а):

исходя из определения данной метрики, сходимость будет как раз поточечной.

Как раз и нет. А какие еще виды сходимости вы знаете?