Здравствуйте, Уважаемые участники форума!
Задача: имеется множество функций
![$
S =
\left\{
\begin{array}{lr}
f(x)\in C[a, b] & (1)\\
c\leqslant f(x) \leqslant d & (2)\\
f(b)=b & (3)
\end{array}
\right.
$ $
S =
\left\{
\begin{array}{lr}
f(x)\in C[a, b] & (1)\\
c\leqslant f(x) \leqslant d & (2)\\
f(b)=b & (3)
\end{array}
\right.
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/4/7d4fa50ecc02ec7973906c7492ede77882.png)
доказать, что множество функций

замкнутое и ограниченное.
Буду очень благодарен за любую наводку на какую-либо теорему/лемму, за любое разъяснение
или поправки моих перноначальных рассуждений и просто за Ваши мысли.
А пока что попробую проанализировать то, что нам дано.
Итак, согласно

наши функции

лежат в
![$C[a, b]$ $C[a, b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/7/e77e794b3859783600b5f8f2bfed341e82.png)
, то есть являются непрерывными
функциями на отрезке
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
. Более того, согласно

функции по оси

ограничены
константами

и

. И, наконец, согласно

на правом конце отрезка
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
они все приходят в точку

.
Суммируя всё это, можно нарисовать график (можно увеличить по клику),
где синим цветом обозначены функции

:

Ну, вот, на этом я иссяк, буду рад услышать Ваши мысли
