2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение16.11.2016, 22:41 
Аватара пользователя


27/05/12
12
Здравствуйте, Уважаемые участники форума!

Задача: имеется множество функций
$
S = 
\left\{
\begin{array}{lr}
f(x)\in C[a, b] & (1)\\
c\leqslant f(x) \leqslant d & (2)\\
f(b)=b & (3)
\end{array}
\right.
$
доказать, что множество функций $S$ замкнутое и ограниченное.

Буду очень благодарен за любую наводку на какую-либо теорему/лемму, за любое разъяснение
или поправки моих перноначальных рассуждений и просто за Ваши мысли.

А пока что попробую проанализировать то, что нам дано.

Итак, согласно $(1)$ наши функции $f(x)$ лежат в $C[a, b]$, то есть являются непрерывными
функциями на отрезке $[a, b]$. Более того, согласно $(2)$ функции по оси $y$ ограничены
константами $c$ и $d$. И, наконец, согласно $(3)$ на правом конце отрезка $[a, b]$ они все приходят в точку $b$.

Суммируя всё это, можно нарисовать график (можно увеличить по клику),
где синим цветом обозначены функции $f(x)$:

Изображение

Ну, вот, на этом я иссяк, буду рад услышать Ваши мысли :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение16.11.2016, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10083
Mergandevinasander в сообщении #1169562 писал(а):
доказать, что множество функций $S$ замкнутое и ограниченное.
Можно начать с определений. Какое множество называется ограниченным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение16.11.2016, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Mergandevinasander в сообщении #1169562 писал(а):
доказать, что множество функций $S$ замкнутое

Как определяется топология на этом множестве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение17.11.2016, 00:55 
Аватара пользователя


27/05/12
12
Dan B-Yallay в сообщении #1169565 писал(а):
Можно начать с определений. Какое множество называется ограниченным?

Хорошо. У меня здесь как раз есть некоторое недопонимание.

Для многомерного случая: множество точек называется ограниченным, если существует сфера, целиком содержащая это множество. В частности, в одномерном случае это отрезок, в двумерном — окружность.

Но ведь, строго говоря, это определение для множество точек. Можно ли его применить для множества функций?
Brukvalub в сообщении #1169566 писал(а):
Как определяется топология на этом множестве?

Честно сказать, затрудняюсь ответить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение17.11.2016, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8675
Mergandevinasander в сообщении #1169587 писал(а):
Но ведь, строго говоря, это определение для множество точек. Можно ли его применить для множества функций?
Уууу, как все сложно...
Дайте-ка сюда, пжлст, определение метрического пространства. А потом я еще пару наводящих вопросов задам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение17.11.2016, 01:01 
Аватара пользователя


27/05/12
12
Anton_Peplov в сообщении #1169588 писал(а):
Уууу, как все сложно...
Дайте-ка сюда, пжлст, определение метрического пространства. А потом я еще пару наводящих вопросов задам.

Окей. Метрическое пространство — пространство, в котором между любой парой элементов определено расстояние.

P.S. Извиняюсь за возможные элементарные вопросы, но как-то математика не укладывается в голове с первого раза. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение17.11.2016, 01:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8675
Mergandevinasander в сообщении #1169590 писал(а):
Окей. Метрическое пространство — пространство, в котором между любой парой элементов определено расстояние.
Незачёт. Неясно, что такое "пространство" и как его отличить от "не пространства". И Вы не определили, что такое расстояние. Приведите строгое определение метрического пространства. В учебник загляните, в конце концов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение17.11.2016, 01:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Ну даже, допустим, был бы и зачёт: и чему равно расстояние между функциями $f$ и $g$, взятыми из $C[a;b]$? А является ли $C[a;b]$ с таким расстоянием метрическим пространством — отдельный вопрос, который должен был перед заданием уже быть разобран, и почему нет следов — это уже третий вопрос, но можно при желании начать с первого.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение17.11.2016, 01:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8675
arseniiv, ну Вы торопитесь. Тут человек, доучившись до функана, не понимает, что такое точка метрического пространства. Пока не поймет, обсуждать с ним последующие вопросы не просто бесполезно, но и вредно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение17.11.2016, 02:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Потому и скобки. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение20.11.2016, 16:52 
Аватара пользователя


27/05/12
12
Anton_Peplov в сообщении #1169591 писал(а):
Незачёт. Неясно, что такое "пространство" и как его отличить от "не пространства". И Вы не определили, что такое расстояние. Приведите строгое определение метрического пространства. В учебник загляните, в конце концов.

Хорошо.

Метрическое пространство есть пара $(M, p)$, где $M$ — некоторое непустое множество, а $p$ — функция из $M \times M$ в $R^{+}$, которая удовлетворяет трем аксимомам (тождества, симметрии и треугольника). При этом функция $p$ называется метрикой (расстоянием).

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение20.11.2016, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8675
Вот теперь зачёт. Следующий наводящий вопрос: что называется точкой метрического пространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение20.11.2016, 18:00 
Аватара пользователя


27/05/12
12
Anton_Peplov, точкой метрического пространства $(M, p)$ называется элемент множества $M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение20.11.2016, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8675
Отлично. Контрольный наводящий вопрос.
Пусть $M$ - множество всех слов русского языка, перечисленных в словаре Ожегова. Зададим функцию $\rho$ так:
- если слова $A$ и $B$ в точности совпадают, то $\rho(A, B) = 0$
- если слова $A$ и $B$ различаются, то $\rho(A, B) = 2^{-n}$, где $n$ - номер первой буквы, которой они различаются. Например, для слов "ядро" и "ярость" $n = 2$, потому что у одного вторая буква - "д", у другого - "р", это разные буквы.
- если слово $A$ длиной $k$ букв является в точности началом более длинного слова $B$ (как, например, для слов "баба" и "бабай"), то считается, что слова $A$ и $B$ различаются в $k+1$-й букве.

Внимание, вопрос (барабанная дробь):
является ли пара $(M, \rho)$ метрическим пространством?

Здесь мне интересен не ответ "да" или "нет", а ход рассуждений. Что Вы для этого будете проверять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что множество функций замкнутое и ограниченное
Сообщение20.11.2016, 20:34 
Аватара пользователя


27/05/12
12
Anton_Peplov, идем по определению: $M$ — некоторое множество (да), $p$ — функция из $M \times M$ в $R^{+}$ (да), которая удовлетворяет трем аксиомам (?). То есть, такая пара $(M, p)$ будет являться метрическим пространством, если мы докажем справедливость аксиом.

Аксиомы тождества и симметрии, очевидно, верны. С аксиомой треугольника чуть сложнее, но она тоже будет верна. Значит, пара $(M, p)$ является метрическим пространством.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group