Постановка задачи для уравнения теплопроводности

[Pphantom]

Astroid в сообщении #1165260 писал(а):

Рискую показаться невежей, но мне в голову идет что-то вроде уравнения непрерывности:

Нет, это слишком сложно, все намного проще. Если распределение температуры в бруске постоянно, стало быть, его внутренняя энергия не меняется - и локально, и в целом для бруска. Следовательно...

[Astroid]

Pphantom,
Ну, на пальцах вроде все просто, вся создаваемая источниками теплота выходит через отверстие, не изменяя энергию бруса и не совершая работы. Но математически это $q = Q$?

[realeugene]

Astroid в сообщении #1165281 писал(а):

Но математически это $q = Q$?

Нет.
Внимательно прочтите свои определения этих величин.

[Pphantom]

Astroid в сообщении #1165281 писал(а):

Ну, на пальцах вроде все просто, вся создаваемая источниками теплота выходит через отверстие, не изменяя энергию бруса и не совершая работы.

Да, именно так.

Astroid в сообщении #1165281 писал(а):

Но математически это $q = Q$?

А вот это - нет. Подумайте, как эти величины определяются.

[GAA]

Astroid, я не о методе писал, я о теории писал.
Это, конечно, от порядка изложения в книге (или лекциях) зависит. Бог с ними, с потенциалами.

Если лихо отбросить производную по времени, то получаем вторую внутреннюю задачу для уравнения Пуассона.
Не вдаваясь в теорию, сразу можно заметить, что и уравнение, и граничное условие содержат производные искомой функции. Допустим, решение существует. Тогда, если к решению добавить произвольную постоянную, то и такая функция будет решением, т.е. будет удовлетворять уравнению и граничному условию. Тогда как интуиция говорит о том, что решение задачи для уравнения теплопроводности с краевыми условиями второго рода должно быть единственным.

Далее. Если уравнение Пуассона свести к уравнению Лапласа, то решение такой задачи заведомо не существует — однородное стационарное уравнение и есть только поток из объёма. Какое тут решение найдётся.

[Munin]

GAA в сообщении #1165515 писал(а):

Тогда как интуиция говорит о том, что решение задачи для уравнения теплопроводности с краевыми условиями второго рода должно быть единственным.

Как это?

[GAA]

Имелось в виду решение смешанной задачи (с заданным начальным условием).

[Munin]

Пересматриваю тему с начала. Смешанных условий не вижу. Начальных условий не вижу. Что я делаю не так, доктор?

[GAA]

Тогда «определить стационарное распределение температуры» не получится. Ну, разве что с точностью до постоянной. :)

-- Ср 02.11.2016 20:44:30 --

GAA в сообщении #1165515 писал(а):

Если уравнение Пуассона свести к уравнению Лапласа, то решение такой задачи заведомо не существует — однородное стационарное уравнение и есть только поток из объёма. Какое тут решение найдётся.

Это я граничные условия не пересчитал.

[Munin]

GAA в сообщении #1165546 писал(а):

Ну, разве что с точностью до постоянной. :)

Если это устроит ТС, то и хорошо.

[GAA]

Тогда ТС надо держать в голове, что в постах post1165100.html#p1165100, post1165146.html#p1165146 надо хотя бы заменить производную по $x$ на производную по $y$. А то совсем как-то криво. :)

Upd. Если это семестровое задание по УМФ, то конечно смысл не важен. :) Но, если это какой-то физический предмет, то уместнее, на мой взгляд, в задаче на поиск стационарного распределения задавать другие граничные условия. Например, для первого (НейманаДирихле) или третьего (Робина, Robin) [третьего надо перепроверить] рода стационарное распределение, к которому будет стремиться решение уравнения теплопроводности, не зависит от начального условия. Тут какой-то смысл есть в задаче.

Отредактировал. Не Неймана, а Дирихле. (Спать надо по ночам).

[GAA]

Придумал себе ситуацию, в которой решение, найденное с точностью до постоянной, может быть нужно. Например, если есть возможность измерять температуру на участке отвода тепла, а интересует температура в других точках (например, туда добраться не получается).

Astroid, по поводу применения метода Фурье. У меня с ходу не получается. Но я много времени не уделил. Может как-то исхитриться можно. Не знаю.
Задача линейная. При фиксированных значениях параметров можно численно найти распределение температуры. При этом численному решению вполне можно будет верить. В случае линейных задач для разных численных методов строгие обоснования получены. А решение «на бумаге» нужно для исследования каких-то конкретных вопросов. Может в результате численных экспериментов эти вопросы сами и отпадут. И не понадобиться возиться с интегральными представлениями решения. Как-то так.

-- Чт 03.11.2016 09:47:20 --

Был неправ. Методом Фурье вроде тоже получается. Времени достаточно нет, чтобы перепроверить и уверенно сказать.

[GraNiNi]

Astroid в сообщении #1165100 писал(а):

В бесконечном брусе прямоугольного сечения $(x, y) \in [-a, a] \times [-b, b]$ равномерно выделяется тепло плотностью $Q$. Поверхность бруса теплоизолирована за исключением полосы $x \in [-d, d] (d < a)$ на верхней грани. В пределах этой полосы через поверхность равномерно отводится тепловой поток $q$. Найти условие теплового равновесия, определить стационарное распределение температуры.

Выглядеть это будет примерно так.

[Astroid]

Я немного почитал по теме учебник Тихонова-Самарского и многие комментарии здесь стали гораздо понятнее.
В частности, относительно НУ: из начального уравнения теплопроводности для поиска стационарного распределения температуры можно вообще убрать член $u_t$.
Тогда получим уравнения Пуассона:

$$-\beta^2 \Delta u = Q$$

Решение во многих пособиях приводится с использованием функции Грина (функцией источников)

$$u(x,t) = \int\limits_{0}^{l}f(\xi)G(x,\xi)d\xi $$

.
Теперь моя проблема в том, что я не совсем четко представляю себе как обобщить функцию $G(x, \xi)$ на случай двух пространственных переменных, ибо везде приводится функция только от $x$ и $t$. Можно ли вообще использовать её в неодномерной задаче?
GAA, это семестровая задача по УМФ, да.

[GAA]

Немного о функции Грина (функции источника) рассказано в указанной Вами книге Тихонова и Самарского. Но данную задачу, на мой взгляд, проще решить методом Фурье.

Идея очень простая. Ищем решение в виде

$u(x, y) = X(x)Y(y),$

где $X(x)$ — решение задачи

$X’’ + \lambda X = 0$, $X’(-a)=X’(a)=0.$

Выбираем, допустим, $\lambda=(\pi k/a)^2$ и решения вида

$X_k(x)=\frac 1 {\sqrt a} \cos \frac {\pi k x} {a}$, $k > 0.$

Потом подставляем в исходное уравнение ряд

$u(x, y) = \sum Y(y) \frac 1 {\sqrt a} \cos \frac {\pi k x} {a}.$

И ищем решение, удовлетворяющее условиям на $u_y(x, -b)$ и $u_y(x, b)$. Просто надо проявить аккуратность. Как-то так, на первый взгляд.