2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 02:02 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Astroid в сообщении #1165260 писал(а):
Рискую показаться невежей, но мне в голову идет что-то вроде уравнения непрерывности:
Нет, это слишком сложно, все намного проще. :-) Если распределение температуры в бруске постоянно, стало быть, его внутренняя энергия не меняется - и локально, и в целом для бруска. Следовательно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 03:26 


11/07/16
81
Pphantom,
Ну, на пальцах вроде все просто, вся создаваемая источниками теплота выходит через отверстие, не изменяя энергию бруса и не совершая работы. Но математически это $q = Q$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 08:48 


27/08/16
10172
Astroid в сообщении #1165281 писал(а):
Но математически это $q = Q$?

Нет.
Внимательно прочтите свои определения этих величин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 13:00 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Astroid в сообщении #1165281 писал(а):
Ну, на пальцах вроде все просто, вся создаваемая источниками теплота выходит через отверстие, не изменяя энергию бруса и не совершая работы.
Да, именно так.
Astroid в сообщении #1165281 писал(а):
Но математически это $q = Q$?
А вот это - нет. Подумайте, как эти величины определяются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 20:36 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Astroid, я не о методе писал, я о теории писал. :-)
Это, конечно, от порядка изложения в книге (или лекциях) зависит. Бог с ними, с потенциалами. :-)

Если лихо отбросить производную по времени, то получаем вторую внутреннюю задачу для уравнения Пуассона.
Не вдаваясь в теорию, сразу можно заметить, что и уравнение, и граничное условие содержат производные искомой функции. Допустим, решение существует. Тогда, если к решению добавить произвольную постоянную, то и такая функция будет решением, т.е. будет удовлетворять уравнению и граничному условию. Тогда как интуиция говорит о том, что решение задачи для уравнения теплопроводности с краевыми условиями второго рода должно быть единственным.

Далее. Если уравнение Пуассона свести к уравнению Лапласа, то решение такой задачи заведомо не существует — однородное стационарное уравнение и есть только поток из объёма. Какое тут решение найдётся. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
GAA в сообщении #1165515 писал(а):
Тогда как интуиция говорит о том, что решение задачи для уравнения теплопроводности с краевыми условиями второго рода должно быть единственным.

Как это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 21:22 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Имелось в виду решение смешанной задачи (с заданным начальным условием).

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Пересматриваю тему с начала. Смешанных условий не вижу. Начальных условий не вижу. Что я делаю не так, доктор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 21:32 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Тогда «определить стационарное распределение температуры» не получится. Ну, разве что с точностью до постоянной. :)

-- Ср 02.11.2016 20:44:30 --

GAA в сообщении #1165515 писал(а):
Если уравнение Пуассона свести к уравнению Лапласа, то решение такой задачи заведомо не существует — однородное стационарное уравнение и есть только поток из объёма. Какое тут решение найдётся. :-)
Это я граничные условия не пересчитал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
GAA в сообщении #1165546 писал(а):
Ну, разве что с точностью до постоянной. :)

Если это устроит ТС, то и хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение02.11.2016, 22:26 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Тогда ТС надо держать в голове, что в постах post1165100.html#p1165100, post1165146.html#p1165146 надо хотя бы заменить производную по $x$ на производную по $y$. А то совсем как-то криво. :)

Upd. Если это семестровое задание по УМФ, то конечно смысл не важен. :) Но, если это какой-то физический предмет, то уместнее, на мой взгляд, в задаче на поиск стационарного распределения задавать другие граничные условия. Например, для первого (НейманаДирихле) или третьего (Робина, Robin) [третьего надо перепроверить] рода стационарное распределение, к которому будет стремиться решение уравнения теплопроводности, не зависит от начального условия. Тут какой-то смысл есть в задаче.

Отредактировал. Не Неймана, а Дирихле. (Спать надо по ночам).

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение03.11.2016, 09:57 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Придумал себе ситуацию, в которой решение, найденное с точностью до постоянной, может быть нужно. Например, если есть возможность измерять температуру на участке отвода тепла, а интересует температура в других точках (например, туда добраться не получается).

Astroid, по поводу применения метода Фурье. У меня с ходу не получается. Но я много времени не уделил. Может как-то исхитриться можно. Не знаю.
Задача линейная. При фиксированных значениях параметров можно численно найти распределение температуры. При этом численному решению вполне можно будет верить. В случае линейных задач для разных численных методов строгие обоснования получены. А решение «на бумаге» нужно для исследования каких-то конкретных вопросов. Может в результате численных экспериментов эти вопросы сами и отпадут. И не понадобиться возиться с интегральными представлениями решения. Как-то так.

-- Чт 03.11.2016 09:47:20 --

Был неправ. Методом Фурье вроде тоже получается. Времени достаточно нет, чтобы перепроверить и уверенно сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение04.11.2016, 13:29 


01/04/08
2785
Astroid в сообщении #1165100 писал(а):
В бесконечном брусе прямоугольного сечения $(x, y) \in [-a, a] \times [-b, b]$ равномерно выделяется тепло плотностью $Q$. Поверхность бруса теплоизолирована за исключением полосы $x \in [-d, d] (d < a)$ на верхней грани. В пределах этой полосы через поверхность равномерно отводится тепловой поток $q$. Найти условие теплового равновесия, определить стационарное распределение температуры.

Выглядеть это будет примерно так.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение08.11.2016, 17:41 


11/07/16
81
Я немного почитал по теме учебник Тихонова-Самарского и многие комментарии здесь стали гораздо понятнее.
В частности, относительно НУ: из начального уравнения теплопроводности для поиска стационарного распределения температуры можно вообще убрать член $u_t$.
Тогда получим уравнения Пуассона: $$-\beta^2 \Delta u = Q$$
Решение во многих пособиях приводится с использованием функции Грина (функцией источников) $$u(x,t) = \int\limits_{0}^{l}f(\xi)G(x,\xi)d\xi $$.
Теперь моя проблема в том, что я не совсем четко представляю себе как обобщить функцию $G(x, \xi)$ на случай двух пространственных переменных, ибо везде приводится функция только от $x$ и $t$. Можно ли вообще использовать её в неодномерной задаче?
GAA, это семестровая задача по УМФ, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Постановка задачи для уравнения теплопроводности
Сообщение09.11.2016, 15:06 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Немного о функции Грина (функции источника) рассказано в указанной Вами книге Тихонова и Самарского. Но данную задачу, на мой взгляд, проще решить методом Фурье.

Идея очень простая. Ищем решение в виде
$u(x, y) = X(x)Y(y),$
где $X(x)$ — решение задачи
$X’’ + \lambda X = 0$, $X’(-a)=X’(a)=0.$
Выбираем, допустим, $\lambda=(\pi k/a)^2$ и решения вида
$X_k(x)=\frac 1 {\sqrt a} \cos \frac {\pi k x} {a}$, $k > 0.$
Потом подставляем в исходное уравнение ряд
$u(x, y) = \sum Y(y) \frac 1 {\sqrt a} \cos \frac {\pi k x} {a}.$
И ищем решение, удовлетворяющее условиям на $u_y(x, -b)$ и $u_y(x, b)$. Просто надо проявить аккуратность. Как-то так, на первый взгляд.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: s4kkkk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group