Теорема антикосинусов

[Yarkin]

Теорема антикосинусов. Для любого натурального $n > 0$ не существует никакого треугольника, длины сторон которого, удовлетворяли бы соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

где $x, y, z$ - положительные действительные числа.
Доказательство. 1. Положим

$$ x^n = a, y^n = b, z^n =c, \eqno (2) $$

Тогда соотношение (1) можно записать в виде

$$ a^2 + b^2 = c^2, \eqno (3) $$

Соотношение (3) получается из соотношений теоремы косинусов для треугольника со сторонами $a^2, b^2, c^2$,

$$ \left\{ \begin{aligned} a^4 + b^4 - 2a^2 b^2 \cos C_1 = c^4\\ c^4 + a^4 - 2a^2 c^2 \cos B_1 = b^4\\ c^4 + b^4 - 2b^2 c^2 \cos A_1 = a^4.\\ \end{aligned} \right. \eqno (4) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A_1 < \pi, 0 < \angle B_1 < \pi, 0 < \angle C_1 < \pi , \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = \pi. \eqno (5) $$

при нарушении этих условий $(\angle C_1 = 180^0, \angle A_1 = \angle B_1 = 0)$, т. е. треугольник с такими сторонами не существует, либо $ a^2, b^2, c^2$ не являются элементами первого измерения. Это следует и из самого соотношения (1).
2. Допустим, что для произвольного $n$ > 0, существует треугольник со сторонами $a = x^n, b = y^n, c = z^n$, для которого имеет место соотношение (1). Однако для такого треугольника должна выполняться теорема косинусов.

$$ \left\{ \begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2\\ c^2 + a^2 - 2ac \cos B = b^2\\ c^2 + b^2 - 2bc \cos A = a^2.\\ \end{aligned} \right. \eqno (6) $$

с условиями для углов

$$ 0 < \angle A < \pi, 0 < \angle B < \pi, 0 < \angle C < \pi , \angle A + \angle B + \angle C = \pi. \eqno (7) $$

Первое соотношение (6) совпадет с соотношением (3) при $\angle C = \pi/2$. Далее возможны два случая либо

$$ a = c \cos B, b = c \cos A, \eqno (8) $$

либо

$$ a \ne c \cos B, b \ne c \cos A, \eqno (9) $$

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1) Выполняются соотношения (8). Все три соотношения (6) перейдут в соотношение (3), где, теперь, элементами первого измерения являются $a = x^n, b = y^n, c = z^n$, но одни и те же элементы одного и того же соотношения, могут иметь только один порядок измерения. Допустив противное, мы должны будем допустить существование соответствующих подобных линейных элементов $a, b, c $ и $ a^2, b^2, c^2$. Это будет возможно только при $a = b = c$, что противоречит соотношению (3). Допущение неверно. Если же эти величины разных измерений, то придем к рассмотренному пункту 1.
2) Выполняются соотношения (9). Но эти соотношения противоречат основным тригонометрическим соотношениям для прямоугольного треугольника. Следовательно, допущение о существовании такого треугольника неверно. Теорема доказана.
Следствие 1. При натуральном $n > 0$ не существует треугольника со сторонами $x^{n/2}, y^{n/2}, z^{n/2}$, для которого имело бы место соотношение

$$ x^n + y^n = z^n. \eqno (10) $$

Чтобы убедиться в этом, достаточно в доказательстве теоремы, в обозначениях (2) положить

$$ x^{n/2} = a, y^{n/2} = b, z^{n/2} = c, \eqno (11) $$
.
Следствие 2. ВТФ. Полагая в соотношениях (4) $\angle C = \pi, \angle B = \angle A = 0$ (треугольник не существует), получим из всех трех соотношений – уравнение Ферма (7), для которого, как следует из доказанной теоремы, не существует никаких треугольников со сторонами (11).
Следствие 3. Пифагоровы тройки – корни уравнения (9) при $n = 1$

$$ x^2 + y^2 = z^2. \eqno (12) $$

не могут быть использованы для построения треугольников, поскольку они не удовлетворяют требованию (8) и оно не содержит угловых элементов. Отсюда следует, что в ВТФ условие $n > 2$ можно заменить условием $n > 1$.

Условия функционирования темы

shwedka писал(а):

1. тема (предыдущая – примечание Яркина) закрывается. Все сказанное в ней объявляется недействительным.
2. Yarkin открывает новую тему, под названием, скажем, ТЕОРЕМА АНТИКОСИНУСОВ,
в котором первое сообщение совпадает с последним постом Yarkinа.
3. Имеется один оппонент (я не претендую). Только он(а) задает вопросы, только на них отвечает Yarkin. Желающие вмешаться сообщают свои идеи оппоненту (или другим соучастникам) лично.
Неоппоненты могут высказываться, но их посты вопросами не считаются, и на них отвечать не следует.
4. Yarkin старается отвечать на вопросы оппонента содержательно, без непроверяемых ссылок (Н.О.Нейм) или зановопридуманных терминов. Воздерживается от однострочных малосодержательных ответов.
5. Фиксируется начальный текст. Оппонент и Yarkin обсуждают следующий фрагмент, возможно одно слово, пока текст не будет согласован и зафиксирован. Фиксированный текст обсуждению или изменению не подлежит (но ссылаться на него, конечно, можно).
6. Уставший оппонент подлежит замене.
7. Дискуссия ведется в уважительных терминах, пока не доказано противоположное.
8. В математике действует презумпция виновности. Утверждение не доказано, пока не пред'явлено доказательство, ссылка, или не признано, что факт общеизвестен. Понятие не определено, пока не дано определение (не следует, однако, выходить за пределы разумного).Оппонент воздерживается от собственных содержательных утверждений, кроме непосредственно проверяемых, иначе Yarkin получает право требовать доказательство.

[bot]

Содержание предыдущей серии см. здесь

Попытка играть втёмную провалилась, что впрочем неудивительно - на всяк роток не накинешь платок. Поначалу мы не видели другой возможности для начала дискуссии по существу, кроме как сначала сформулировать внятную формулировку. Вот мы и попробовали. Формулировка естественно получилась такая, что для опровержения достаточно ткнуть наугад - на это я даже намекал, выделяя приставку не в слове несуществование.
Яркин дал лишь частичное согласие на такую формулировку и мы ждали лишь подтверждения его согласия на её обсуждение. Ну а дальше случилось то, чего и не могло не случиться.
Другой редакции теоремы оппоненты предложить не могут - фантазии не хватает. Но ведь её нет и у Яркина. Что тогда обсуждать, если нет формулировки? Тупичок вот такой образовался.
Однако оно и к лучшему. Лучше оппонентам признаться хотя и в вынужденном, но всё-таки в несостоявшемся коварстве, подсунувших Яркину заведомо ложную лемму, чем ловить его там, где не поймает только ленивый.

Мы вот тут посоветовались с AD и порешили играть в открытую не против Яркина, а вместе с Яркиным. Не будем требовать от него сразу ясной формулировки, а обсуждать будем доказательство - оно ведь всегда информативнее формулировки, вне зависимости, верное оно или ошибочное. Точнее - это, конечно, будет уже не доказательство, а некоторые рассуждения о чём-то. Вот отсюда и можно попытаться выловить, о чём это рассуждение, верное ли оно, а также как разные фрагменты рассуждения друг с другом стыкуются и во что складываются. В общем, как у классика детской литературы:

Писать я начинаю
В башке бедлам и шум
О чём писать не знаю,
Но всё же напишу.

Вот почти дословно по Яркину:
================================================================
Пусть для некоторых положительных действительных чисел $x,\ y,\ z$ и некоторого натурального $n$ выполняется соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Положим

$$ a=x^n ,\ b=y^n, \ c=z^n, \eqno (2) $$

В новых обозначениях соотношение (1) приобретёт вид:

$$ a^2 + b^2 = c^2, \eqno (3) $$

==================================================================
Вот это мы можем принять, а дальше уже непонятно

Цитата:

Соотношение (3) получается из соотношений теоремы косинусов для треугольника со сторонами $a^2, b^2, c^2$

Согласно описанию соотношение (3) получилось совсем другим путём - не было там и в помине никаких треугольников.
Может быть так: Рассмотрим треугольник с длинами сторон ... ? Но для этого сначала надо бы убедиться, что такой треугольник существует ..., а если существует, то какой он? Не того ли он вида, против которого Вы всегда выступали?

В общем, у меня пара вопросов:
1. Принимаете ли Вы такой план действий?
2. Согласны ли с принятым фрагментом?

В положительном случае можете предложить продолжение, только не торопитесь, п о м е д л е н н е е - очень сомнительно, что оппоненты смогут принять больше двух предложений, так что право же не стоит тратить порох впустую.

[Yarkin]

bot писал(а):

Другой редакции теоремы оппоненты предложить не могут - фантазии не хватает. Но ведь её нет и у Яркина. Что тогда обсуждать, если нет формулировки? Тупичок вот такой образовался.
Однако оно и к лучшему. Лучше оппонентам признаться хотя и в вынужденном, но всё-таки в несостоявшемся коварстве, подсунувших Яркину заведомо ложную лемму, чем ловить его там, где не поймает только ленивый.

Мы вот тут посоветовались с AD и порешили играть в открытую не против Яркина, а вместе с Яркиным. Не будем требовать от него сразу ясной формулировки, а обсуждать будем доказательство - оно ведь всегда информативнее формулировки, вне зависимости, верное оно или ошибочное. Точнее - это, конечно, будет уже не доказательство, а некоторые рассуждения о чём-то. Вот отсюда и можно попытаться выловить, о чём это рассуждение, верное ли оно, а также как разные фрагменты рассуждения друг с другом стыкуются и во что складываются.

Как я понял, Вы заведомо решили, что тут нет никакой теоремы, а обсуждать мы будем – правильно или неправильно я рассуждаю. По условию выделения темы, мы должны идти от пункта к пункту. Не согласовав формулировку, мы не можем идти дальше. Нет смысла. Поэтому Вы должны либо согласиться с моей формулировкой, либо четко указать на то, что в ней не верно.

bot писал(а):

Пусть для некоторых положительных действительных чисел $x,\ y,\ z$ и некоторого натурального $n$ выполняется соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Положим

$$ a=x^n ,\ b=y^n, \ c=z^n, \eqno (2) $$

В новых обозначениях соотношение (1) приобретёт вид:

$$ a^2 + b^2 = c^2, \eqno (3) $$

==================================================================
Вот это мы можем принять

При условии, что Вы приняли формулировку теоремы, можно считать, что до этого пункта все в порядке и правильно. Если Вы с этим не согласны, то возвращаемся к обсуждению формулировки теоремы.

bot писал(а):

Согласно описанию соотношение (3) получилось совсем другим путём - не было там и в помине никаких треугольников.

Согласно какого описания? И какой путь Вы имеете в виду? Здесь как раз и доказывается, что треугольник со сторонами $a^2, b^2, c^2$ не существует, что можно подтвердить единственным путем – с помощью теоремы косинусов для треугольника с такими сторонами. На первый вопрос

bot писал(а):

1. Принимаете ли Вы такой план действий?

ответ отрицательный, поскольку, еще не обсудив написанное, Вы его отвергли. На второй вопрос

bot писал(а):

2. Согласны ли с принятым фрагментом?

ответ также отрицательный, ибо мы не можем рассматривать треугольник, существование которого не определенно, т. е. этой фразой Вы противоречите цитированной – самому себе.

bot писал(а):

Рассмотрим треугольник с длинами сторон ... ? Но для этого сначала надо бы убедиться, что такой треугольник существует ..., а если существует, то какой он?

Зачем мне убеждаться в том, что я отвергаю. Для написания этой фразы, я должен… И зачем все это – чтобы потом доказывать, что он не существует?
Играем честно. Я считаю, что доказал: соотношение (1) никаких треугольников не определяет. Вы должны это опровергнуть или указать на ошибку в доказательстве.

[e2e4]

Yarkin писал(а):

Теорема антикосинусов. Для любого натурального $n > 0$ не существует никакого треугольника, длины сторон которого, удовлетворяли бы соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

где $x, y, z$ - положительные действительные числа.

Случайно заглянул в эту тему, понял, что тут какая-то заморочка с нормальным ведением обсуждения, так что можете в соответствии с принятой конвенцией на мое замечание не отвечать, но не написать, не могу: при $n = 1$ для вашего соотношения существует сколько угодно треугольников, да еще и с натуральными $x, y, z$!

Добавлено спустя 7 минут 36 секунд:

Да, и конечно, существуют треугольники со сторонами, выраженными действительными числами, удовлетворяющие вашему соотношению при $n=2$, например $x = 1; y = 1,1; z = 2,4641^{^1/_4}$. Другие значения $n$ проверять и что-то с ними доказывать лениво.

[shwedka]

Yarkin. Ппо договоренности, пожалуйста игнорируйте e2e4.

[AD]

Да-да, конвенция именно это и говорит. Давайте еще раз подчеркнём, чтобы совсем все поняли.

Пока что все, кроме Yarkina, bota, и STildaы молчат,
какими бы бредовыми им ни казались высказываемые утверждения.

Извините за самонеприменимость.

[Семен]

Yarkin писал(а):

Теорема антикосинусов. Для любого натурального $ n>0 $ не существует никакого треугольника, длины сторон которого, удовлетворяли бы соотношению
$ (x^2)^n+(y^2)^n =(z^2)^n $

где $ x, y, z $ - положительные действительные числа.

Если принять $ n=1 $, то это любой прямоугольный треугольник, у которого соответствующие $ x, y $ - положительные действительные числа.
Кстати, можно было в задании написать: " Для любого натурального $ n $..."

[AD]

Семен

В первом сообщении темы Yarkin писал(а), что shwedka писал(а):

Имеется один оппонент

Предысторию этой ситуации см. здесь.

Пока что оппонент -- bot.

Нет, ну ясно, что это как-то на уровне форумных скриптов надо прописать. Иначе не выйдет.

[e2e4]

AD писал(а):

Семен

В первом сообщении темы Yarkin писал(а), что shwedka писал(а):

Имеется один оппонент

Предысторию этой ситуации см. здесь.

Пока что оппонент -- bot.

Нет, ну ясно, что это как-то на уровне форумных скриптов надо прописать. Иначе не выйдет.

Дык этта. Вообще-то, подобное ведение темы - это чисто инициатива нескольких людей, никак не закрепленная правилами, поэтому ссылка в рулесы - не считается. Вот когда утвердят на уровне модераторов, будем подчиняться. А пока я считаю, что вполне могу сюда писать по существу вопроса, да и любой может в пределах общих правил форума. Будут ли отвечать участники дискуссии - это их дело, могут и проигнорировать. Но пока что право писать сюда никто не отменял.

P.S. Выносите в работу форума, может быть, модераторы сочтут подобную форму обсуждения некоторых вопросов приемлемой.

P.P.S. Сорри за оффтоп, но данный топик - прецедент все-таки.

[AD]

Со смайликом я, может быть, и поспешил, но правила ведения этой темы поддержаны и выписаны в первом сообщении автором темы.

Вообще модераторы, я так понимаю, давно мечтают прикрыть эти все темы (то есть обсуждение сейчас ведется в рамках цитаты

Цитата:

PAV:
Это в последний раз.

), а наша ругань сейчас этому отлично способствует.

Предложение - отделить эти наши сообщения в отдельную ветку в "работу форума". Типа "обсуждение правил темы "теорема антикосинусов"".

(добавлено потом, немного успокоившись. возможно, это поможет установить тишину, а, может быть, и наоборот).

Понимаете, все очевидные аргументы Yarkinу уже приводились, это обсуждение уже длится не один десяток страниц, и уже десятки раз ему подсовывали треугольник со сторонами $3,4,5$, а он ноль внимания, и в ответ говорит что-то, понятное не более чем (возможно, менее чем) ему одному. В этой теме нужны "настоящие Yarkinисты", которые хоть немного понимают его язык (опять-таки, if any).

[Yarkin]

AD писал(а):

Понимаете, все очевидные аргументы Yarkinу уже приводились, это обсуждение уже длится не один десяток страниц, и уже десятки раз ему подсовывали треугольник со сторонами $3,4,5$, а он ноль внимания, и в ответ говорит что-то, понятное не более чем (возможно, менее чем) ему одному. В этой теме нужны "настоящие Yarkinисты", которые хоть немного понимают его язык (опять-таки, if any).

ADне забывайте,что Вы один из участников договора и, в случае отказа botа должны стать первым оппонентом.

[bot]

Yarkin писал(а):

Как я понял, Вы заведомо решили, что тут нет никакой теоремы, а обсуждать мы будем – правильно или неправильно я рассуждаю.

Вы верно поняли, уже указывалась основная причина, почему последовательность слов в "теореме антикосинусов" формулировкой не является. В ней нет указания на то, какие треугольники не существуют. От обсуждения другий требований к формулировке пока воздержусь, но возможно к этому придётся ещё вернуться, если Вы по-прежнему будете явно уклоняться от прямо поставленных вопросах или принимать их лишь на словах, а на самом деле отвергать, выдвигая встречные условия, заведомо невыполнимые.
В силу неясности формулировки мы восполнили недостающее, предположив, что в заключительной части "теоремы антикосинусов" идёт речь об отсутствии тругольников с длинами сторон $x, y, z$, удовлетворяющих соотношению (1). Так появилась

Лемма 0. Пусть произвольное натуральное число,
а - положительные действительные числа, удовлетворяющие соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Тогда не существует треугольника с длинами сторон $x, y, z$

Как видите, в ней всё чётко прописано - вот это дано, а вот это требуется доказать. Верна или нет лемма - это вопрос никак не связанный с ясностью фомулировки. Вы заявили, что лемма является частным случаем "теоремы антикосинусов". Прекрасно, подумали мы - это позволяет сдвинуться с мёртвой точки, для начала можно обсудить хотя бы этот частный случай. Но тут появился

Hottabych писал(а):

Контрпример к лемме: n=3, x=1, y=1

Нам показалось очевидным, что обсуждать далее такую формулировку бессмысленно.
А может быть мы поторопились, очевидное одному не обязательно очевидно другому, а Вашего отношения к контрпримеру мы не услышали. Впрочем мы и не спрашивали, а согласно правилам Вы и не обязаны на него отвечать. Поэтому задаём

Вопрос 1. Согласны ли Вы продолжить обсуждение леммы 0 в качестве частного случая теоремы антикосинусов?

Помня о непредсказуемости Ваших ответов, воздержусь пока от других вопросов.

[Yarkin]

bot писал(а):

Вы верно поняли, уже указывалась основная причина, почему последовательность слов в "теореме антикосинусов" формулировкой не является. В ней нет указания на то, какие треугольники не существуют.

Указаны словом “никаких”

bot писал(а):

если Вы по-прежнему будете явно уклоняться от прямо поставленных вопросах или принимать их лишь на словах, а на самом деле отвергать, выдвигая встречные условия, заведомо невыполнимые.

От какого вопроса я уклонился? И какие невыполнимые условия я выдвинул? Ваши ответы носят неопределенный характер с показом полной убежденности в бесполезности обсуждаемой темы.

bot писал(а):

В силу неясности формулировки мы восполнили недостающее, предположив, что в заключительной части "теоремы антикосинусов" идёт речь об отсутствии тругольников с длинами сторон $x, y, z$, удовлетворяющих соотношению (1). Так появилась

Лемма 0. Пусть произвольное натуральное число,
а - положительные действительные числа, удовлетворяющие соотношению

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Тогда не существует треугольника с длинами сторон $x, y, z$

Как видите, в ней всё чётко прописано - вот это дано, а вот это требуется доказать. Верна или нет лемма - это вопрос никак не связанный с ясностью фомулировки. Вы заявили, что лемма является частным случаем "теоремы антикосинусов". Прекрасно, подумали мы - это позволяет сдвинуться с мёртвой точки, для начала можно обсудить хотя бы этот частный случай.

Интересно Ваше предложение, только каким образом эти стороны могут удовлетворять соотношению (1)?

bot писал(а):

Вопрос 1. Согласны ли Вы продолжить обсуждение леммы 0 в качестве частного случая теоремы антикосинусов?

Помня о непредсказуемости Ваших ответов, воздержусь пока от других вопросов.

Нет. Я должен сам изменять формулировку иди доказательство, а Вы, как профессионал комментировать, критиковать или отвергать, указывая причины. Поэтому, чтобы все было проще, я буду исходить от формулировки теоремы косинусов. Предлагаю эту формулировку.
Теорема антикосинусов. Для всякого не существующего треугольника имеет место соотношение

$$ a^2 + b^2 = c^2, \eqno (1) $$

.

[нг]

AD
— модераторский смайл. Пожалуйста, не используйте его.

В предвидение невысказанного возмущения — к сожалению, списка модераторских смайлов нет.

[shwedka]

Я бы написала словами, но стыд девичий не позволяет.