2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Непростое неравенство
Сообщение03.08.2016, 02:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1849
Tel-aviv
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}\geq\frac{a+b+c}{18}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение04.08.2016, 19:00 


04/08/16
1
Легко показать, что для положительных a и b выполняется неравенство:
$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5a^2}\geqslant\frac{a+b}{18}$

аналогично:
$\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5b^2}\geqslant\frac{b+c}{18}$

$\frac{c^3}{13c^2+5a^2}+\frac{a^3}{13a^2+5c^2}\geqslant\frac{a+c}{18}$

сложим эти три неравенства:
$[\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}]+[\frac{b^3}{13b^2+5a^2}+\frac{a^3}{13a^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5b^2}]\geqslant2\frac{a+b+c}{18}$

далее от противного

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение05.08.2016, 06:39 
Заслуженный участник


26/06/07
1849
Tel-aviv
Попробуем вместе: пусть для некоторых $a$, $b$ и $c$ выполняется $\sum\limits_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5b^2}<\frac{a+b+c}{18}$.
Тогда что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение06.08.2016, 08:33 
Модератор


20/03/14
9251
 i  Сообщение TR63 отделено в Карантин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение10.08.2016, 00:16 
Аватара пользователя


27/07/16
148
Противоречия не разглядел.
Будучи подслеповат,мог и не все обозреть сразу.
Смог разглядеть (просчитав на пальцах) следующее явление:
Если все три числа равны
то имеет место тождество (на всем множестве вещественных чисел!)
Также получается тождество при совпадении любых двух (ненулевых) чисел из трех
и равенстве нулю оставшегося(если пальцы не врут).
Три числа ,упомянутые мною, объявлены в условии .
Но как положительные.Может быть и слишком ограничительно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение18.10.2016, 21:44 
Заслуженный участник


26/06/07
1849
Tel-aviv
Вот ещё. Оно может быть и неверно.
2. Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ неотрицательные числа. Докажите, что:
$$\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)}{32}\geq\frac{a+b+c+d+e}{5}\sqrt[5]{a^4b^4c^4d^4e^4}$$

Я умею доказывать следующее.
Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ неотрицательные числа. Докажите, что:
$$\left(\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)}{32}\right)^{128}\geq\left(\frac{a+b+c+d+e}{5}\right)^{125}(abcde)^{103}$$

 Профиль  
                  
 
 Машинное доказательство
Сообщение27.10.2016, 21:23 


11/07/16
478
Мэйпл 2016 доказывает это непростое неравенство:
Код:
minimize(a^3/(13*a^2+5*b^2)+b^3/(13*b^2+5*c^2)+c^3/(5*a^2+13*c^2)-(a+b+c)*(1/18),
a = 0 .. infinity, b = 0 .. infinity, c = 0 .. infinity, location);

производит
Код:
0, {[{a = 0, b = 0, c = 0}, 0], [{a = a, b = a, c = a}, 0]}

Справка команды http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=minimize&term=minimize.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение28.10.2016, 00:07 
Заслуженный участник


26/06/07
1849
Tel-aviv
И WolframAlpha говорит, что зто верно. Интересно найти что-нибудь человеческое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение28.10.2016, 06:41 


11/07/16
478
arqady в сообщении #1163646 писал(а):
И WolframAlpha говорит, что зто верно. Интересно найти что-нибудь человеческое.

А зачем? Неравенства - это не искусство ради искусства, они возникают при решении прикладных задач (геометрия - измерение земли) и зачастую не изящны. Очень полезно механизировать доказательства неравенств. Странно, что " WolframAlpha говорит, что зто верно", т.к. Математика 11 на моем домашнем компе пасует при доказательстве рассматриваемого неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение28.10.2016, 06:52 
Заслуженный участник


26/06/07
1849
Tel-aviv
Markiyan Hirnyk в сообщении #1163690 писал(а):
А зачем?

Чтобы, например, на олимпиаде доказать что-то похожее. На IMO нельзя пользоваться даже калькулятором.

-- Пт окт 28, 2016 08:00:02 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1163690 писал(а):
Странно, что " WolframAlpha говорит, что зто верно", т.к. Математика 11 на моем домашнем компе пасует при доказательстве рассматриваемого неравенства.

Компьютерные решатели - вещь очень полезная. К ним только подход надо знать. :wink: :P :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение28.10.2016, 07:06 


11/07/16
478
1. Олимпиады - неоптимальный способ выявления и развития математических способностей школьников и студентов.
2. Еше два предложенных Вами неравенства решены с прмененением Мэйпл здесь http://www.mapleprimes.com/posts/203170-Inequality-Proved-With-Maple и здесь http://www.mapleprimes.com/posts/203207-Inequality-Proved-With-Maple-II.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение28.10.2016, 08:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6089
Markiyan Hirnyk в сообщении #1163695 писал(а):
1. Олимпиады - неоптимальный способ выявления и развития математических способностей школьников и студентов.
Такое ощущение, что Вы кому-то возражаете. А почему в этом разделе? или здесь теплее? :D
Markiyan Hirnyk в сообщении #1163695 писал(а):
2. Еше два предложенных Вами неравенства решены с прмененением Мэйпл
Простите, при такой мотивации это неинтересно. На форуме есть соответствующий раздел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение28.10.2016, 09:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1849
Tel-aviv
Markiyan Hirnyk в сообщении #1163695 писал(а):
1. Олимпиады - неоптимальный способ выявления и развития математических способностей школьников и студентов.

Заведите на эту тему отдельный топик ну и ... поговорим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение19.10.2018, 17:26 
Аватара пользователя


14/03/18
43
arqady в сообщении #1141802 писал(а):
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}\geq\frac{a+b+c}{18}$$

Может использовать BW? Я пробовал сам всё посчитать и вроде всё получилось, но потом заметил ошибку и забил. Может кто-то знает софт который может всё посчитать(wolfram не работает)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение20.10.2018, 10:21 
Заслуженный участник


26/06/07
1849
Tel-aviv
Пробовал. У меня ничего не получилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group