2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение01.11.2018, 10:16 
Аватара пользователя


26/02/14
155
so dna
Cap в сообщении #1347723 писал(а):
Может использовать BW?
arqady в сообщении #1347882 писал(а):
Пробовал. У меня ничего не получилось.
И тем не менее BW доказывает данное неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение01.11.2018, 11:27 
Аватара пользователя


14/12/17
14/10/19
866
деревня Инет-Кельманда
Rak so dna
Cap
arqady

Что такое BW? Обыскался уже, спасите мой день.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение01.11.2018, 11:50 
Аватара пользователя


14/03/18
70
eugensk в сообщении #1350735 писал(а):
Rak so dna
Cap
arqady

Что такое BW? Обыскался уже, спасите мой день.


https://brilliant.org/discussions/threa ... ffalo-way/

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение01.11.2018, 11:57 
Аватара пользователя


14/12/17
14/10/19
866
деревня Инет-Кельманда
Cap
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 06:09 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
eugensk в сообщении #1350735 писал(а):
Rak so dna
Cap
arqady

Что такое BW? Обыскался уже, спасите мой день.

Можно ещё здесь посмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 07:21 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
Rak so dna в сообщении #1350720 писал(а):
И тем не менее BW доказывает данное неравенство.

Пусть $x=\min\{x,y,z\}$, $y=x+u$, $z=x+v$.
Тогда нам нужно доказать, что:
$$72(u^2-uv+v^2)x^5+12(9u^3+46u^2v-43uv^2+9v^3)x^4+$$
$$+8(27u^4+62u^3v+63u^2v^2-116uv^3+27v^4)x^3+$$
$$+(90u^5+442u^4v+508u^3v^2-256u^2v^3-244uv^4+90v^5)x^2+$$
$$+uv(130u^4+351u^2v-135uv^2+50v^4)x+5u^2v^2(13u^3+13u^2v-13uv^2+5v^3)\geq0.$$
Как Вы продолжаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 10:24 
Аватара пользователя


26/02/14
155
so dna
arqady Обозначим $P_+$ - множество всех однородных многочленов степени $7$ от переменных $a,b,c$ с неотрицательными коэффициентами. Надо доказать
$f(a,b,c)=18a^3(13b^2+5c^2)(13c^2+5a^2)+
          18b^3(13c^2+5a^2)(13a^2+5b^2)+
          18c^3(13a^2+5b^2)(13b^2+5c^2)-
          (a+b+c)(13a^2+5b^2)(13b^2+5c^2)(13c^2+5a^2)\geqslant0$

Тогда $f(a,a+b+c,a+b) \in P_+$ (Выписывать сами многочлены не буду) Осталось показать $g(a,b,c)=f(a,a+b,a+b+c)\geqslant0$.
Тогда $g(a,b+2c,c) \in P_+$ Осталось показать $q(a,b,c)=g(a,b,\frac{b}{2}+c)\geqslant0$. Тогда:
$\begin{cases}
q(a,a+b,a+b+c) \in P_+ \\
q(a,a+b+c,a+b) \in P_+ \\
q(a+b,a,a+b+c) \in P_+ \\
q(a+b,a+b+c,a) \in P_+
\end{cases}$
Осталось показать, что $\begin{cases}
r_1(a,b,c)=q(a+b+c,a,a+b) \geqslant0 \\
r_2(a,b,c)=q(a+b+c,a+b,a) \geqslant0
\end{cases}$
Тогда:
$\begin{cases}
r_{1,2}(a,a+b,a+b+c) \in P_+ \\
r_{1,2}(a,a+b+c,a+b) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b,a,a+b+c) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b,a+b+c,a) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b+c,a,a+b) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b+c,a+b,a) \in P_+ 
\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 14:29 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
А я выпишу:
$$\frac{1}{5}f(a,a+u,a+u+v)=72(u^2+uv+v^2)a^5+12(21u^3-13u^2v-16uv^2+9v^3)a^4+$$
$$+8(63u^4-52u^3v-123u^2v^2-8uv^3+103uv^4+27v^4)a^3+$$
$$+2(315u^5+82u^4v-412u^3v^2-166u^2v^3+103uv^4+45v^5)a^2+$$
$$+(396u^5+542u^4v+41u^3v^2-40u^2v^2+115uv^4+50v^5)ua+5(18u^3+2u^2v+2uv^2+5v^3)(u+v)^2u^2.$$
Мы видим, что $$21u^3-13u^2v-16uv^2+9v^3,$$
$$63u^4-52u^3v-123u^2v^2-8uv^3+103uv^4+27v^4$$ и $$315u^5+82u^4v-412u^3v^2-166u^2v^3+103uv^4+45v^5$$ могут быть отрицательными.

Что делать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 15:15 
Аватара пользователя


26/02/14
155
so dna
arqady я всё написал: обозначаем $g(a,b,c)=f(a,a+b,a+b+c)$ и продолжаем доказывать методом BW неотрицательность этого многочлена. Для $b\geqslant 2c$ проверяем, что у $g(a,b+2c,c)$ неотрицательные коэффициенты. Для $b \leqslant 2c$ рассматриваем $q(a,b,c)=g(a,b,\frac{b}{2}+c)$ и доказываем BW неотрицательность многочлена $q(a,b,c)$ и т.д. по тексту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 18:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
Rak so dna в сообщении #1351163 писал(а):
Для $b\geqslant 2c$ проверяем, что у $g(a,b+2c,c)$ неотрицательные коэффициенты.

Почему это достаточно для доказательства, что $f(a,a+b,a+b+c)\geq0$ при $b\geq2c$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 19:58 
Аватара пользователя


26/02/14
155
so dna
arqady давайте по порядку (все переменные по умолчанию считаем неотрицательными):
1. Если $g(a,2c+x,c)$ имеет неотрицательные коэффициенты, то он неотрицателен.
2. $g(a,2c+x,c)\Leftrightarrow g(a,b,c)$ при $b\geqslant 2c$
3. $f(a,a+b,a+b+c)=g(a,b,c)$
Что мы имеем:
$g(a,2c+b,c)\geqslant 0$, а значит $g(a,2c+x,c)\geqslant 0$ из чего следует, что $g(a,b,c)\geqslant 0$ при $b\geqslant 2c$ а значит и $f(a,a+b,a+b+c)\geqslant 0 $ при $b\geqslant 2c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 20:57 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
Rak so dna
Для $b\geq2c$ проверил. Всё действительно получается, как Вы говорите.
Но для $b\leq2c$ получаем $$\frac{32}{5}g\left(a,u,\frac{u}{2}+v\right)=\frac{32}{5}f\left(a,a+u,a+\frac{3}{2}u+v\right)=$$
$$=576(7u^2+8uv+4v^2)a^5+48(93u^3-178u^2v-20uv^2+72v^3)a^4+$$
$$+16(111u^4-2680u^3v-1512u^2v^2+736uv^3+432v^4)a^3+$$
$$+2(7683u^5-12446u^4v-14408u^3v^2+4880u^2v^3+6896uv^4+1440v^5)a^2+$$
$$+4(5448u^5+5009u^4v+1728u^3v^2+2520u^2v^3+1920uv^4+400v^5)ua+$$
$$+5u^2(3u+2v)^2(161u^3+62u^2v+76uv^2+40v^3).$$
И что теперь? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 21:12 
Аватара пользователя


26/02/14
155
so dna
arqady
Rak so dna в сообщении #1351071 писал(а):
Осталось показать $q(a,b,c)=g(a,b,\frac{b}{2}+c)\geqslant0$. Тогда:
$\begin{cases}
q(a,a+b,a+b+c) \in P_+ \\
q(a,a+b+c,a+b) \in P_+ \\
q(a+b,a,a+b+c) \in P_+ \\
q(a+b,a+b+c,a) \in P_+
\end{cases}$
Осталось показать, что $\begin{cases}
r_1(a,b,c)=q(a+b+c,a,a+b) \geqslant0 \\
r_2(a,b,c)=q(a+b+c,a+b,a) \geqslant0
\end{cases}$
Тогда:
$\begin{cases}
r_{1,2}(a,a+b,a+b+c) \in P_+ \\
r_{1,2}(a,a+b+c,a+b) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b,a,a+b+c) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b,a+b+c,a) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b+c,a,a+b) \in P_+ \\
r_{1,2}(a+b+c,a+b,a) \in P_+ 
\end{cases}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение02.11.2018, 21:44 
Заслуженный участник


26/06/07
1872
Tel-aviv
Сейчас я по крайней мере понял, что Вы делаете. Вы всё время переобозначаете $a$, $b$ и $c$ и поэтому мне было трудно въехать. Проверю.
Случаи $a=\min\{a,u,v\}$ and $u=\min\{a,u,v\}$ осилил. Действително, всё верно.

Последний случай, когда $a=\max\{a,u,v\}$, а это, собственно, 12 случаев, - когда-нибудь потом. Какое-то садо-мазохистское у Вас $BW$ получается. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Непростое неравенство
Сообщение03.11.2018, 10:49 
Аватара пользователя


26/02/14
155
so dna
arqady в сообщении #1351248 писал(а):
...and $u=\min\{a,u,v\}$ осилил
Скорее всего Вы имели ввиду
$
u\leqslant a\leqslant v, v\leqslant a\leqslant u
$
arqady в сообщении #1351248 писал(а):
Какое-то садо-мазохистское у Вас $BW$ получается. :mrgreen:
Ну, я лишь отметил работоспособность метода, а уж подробностей - это Вам захотелось :mrgreen: :mrgreen:
Спасибо за Ваше терпение в проверке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group