Непростое неравенство

[arqady]

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}\geq\frac{a+b+c}{18}$$

[Mefodi]

Легко показать, что для положительных a и b выполняется неравенство:

$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5a^2}\geqslant\frac{a+b}{18}$

аналогично:

$\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5b^2}\geqslant\frac{b+c}{18}$

$\frac{c^3}{13c^2+5a^2}+\frac{a^3}{13a^2+5c^2}\geqslant\frac{a+c}{18}$

сложим эти три неравенства:

$[\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}]+[\frac{b^3}{13b^2+5a^2}+\frac{a^3}{13a^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5b^2}]\geqslant2\frac{a+b+c}{18}$

далее от противного

[arqady]

Попробуем вместе: пусть для некоторых $a$, $b$ и $c$ выполняется $\sum\limits_{cyc}\frac{a^3}{13a^2+5b^2}<\frac{a+b+c}{18}$.
Тогда что?

[Lia]

Сообщение TR63 отделено в Карантин.

[Genaa]

Противоречия не разглядел.
Будучи подслеповат,мог и не все обозреть сразу.
Смог разглядеть (просчитав на пальцах) следующее явление:
Если все три числа равны
то имеет место тождество (на всем множестве вещественных чисел!)
Также получается тождество при совпадении любых двух (ненулевых) чисел из трех
и равенстве нулю оставшегося(если пальцы не врут).
Три числа ,упомянутые мною, объявлены в условии .
Но как положительные.Может быть и слишком ограничительно...

[arqady]

Вот ещё. Оно может быть и неверно.
2. Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ неотрицательные числа. Докажите, что:

$$\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)}{32}\geq\frac{a+b+c+d+e}{5}\sqrt[5]{a^4b^4c^4d^4e^4}$$

Я умею доказывать следующее.
Пусть $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ неотрицательные числа. Докажите, что:

$$\left(\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)}{32}\right)^{128}\geq\left(\frac{a+b+c+d+e}{5}\right)^{125}(abcde)^{103}$$

[Markiyan Hirnyk]

Мэйпл 2016 доказывает это непростое неравенство:

minimize(a^3/(13*a^2+5*b^2)+b^3/(13*b^2+5*c^2)+c^3/(5*a^2+13*c^2)-(a+b+c)*(1/18),
a = 0 .. infinity, b = 0 .. infinity, c = 0 .. infinity, location);

производит

0, {[{a = 0, b = 0, c = 0}, 0], [{a = a, b = a, c = a}, 0]}

Справка команды http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=minimize&term=minimize.

[arqady]

И WolframAlpha говорит, что зто верно. Интересно найти что-нибудь человеческое.

[Markiyan Hirnyk]

arqady в сообщении #1163646 писал(а):

И WolframAlpha говорит, что зто верно. Интересно найти что-нибудь человеческое.

А зачем? Неравенства - это не искусство ради искусства, они возникают при решении прикладных задач (геометрия - измерение земли) и зачастую не изящны. Очень полезно механизировать доказательства неравенств. Странно, что " WolframAlpha говорит, что зто верно", т.к. Математика 11 на моем домашнем компе пасует при доказательстве рассматриваемого неравенства.

[arqady]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1163690 писал(а):

А зачем?

Чтобы, например, на олимпиаде доказать что-то похожее. На IMO нельзя пользоваться даже калькулятором.

-- Пт окт 28, 2016 08:00:02 --

Markiyan Hirnyk в сообщении #1163690 писал(а):

Странно, что " WolframAlpha говорит, что зто верно", т.к. Математика 11 на моем домашнем компе пасует при доказательстве рассматриваемого неравенства.

Компьютерные решатели - вещь очень полезная. К ним только подход надо знать.

[Markiyan Hirnyk]

1. Олимпиады - неоптимальный способ выявления и развития математических способностей школьников и студентов.
2. Еше два предложенных Вами неравенства решены с прмененением Мэйпл здесь http://www.mapleprimes.com/posts/203170-Inequality-Proved-With-Maple и здесь http://www.mapleprimes.com/posts/203207-Inequality-Proved-With-Maple-II.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1163695 писал(а):

1. Олимпиады - неоптимальный способ выявления и развития математических способностей школьников и студентов.

Такое ощущение, что Вы кому-то возражаете. А почему в этом разделе? или здесь теплее?

Markiyan Hirnyk в сообщении #1163695 писал(а):

2. Еше два предложенных Вами неравенства решены с прмененением Мэйпл

Простите, при такой мотивации это неинтересно. На форуме есть соответствующий раздел.

[arqady]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1163695 писал(а):

1. Олимпиады - неоптимальный способ выявления и развития математических способностей школьников и студентов.

Заведите на эту тему отдельный топик ну и ... поговорим.

[Cap]

arqady в сообщении #1141802 писал(а):

Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^3}{13a^2+5b^2}+\frac{b^3}{13b^2+5c^2}+\frac{c^3}{13c^2+5a^2}\geq\frac{a+b+c}{18}$$

Может использовать BW? Я пробовал сам всё посчитать и вроде всё получилось, но потом заметил ошибку и забил. Может кто-то знает софт который может всё посчитать(wolfram не работает)?

[arqady]

Пробовал. У меня ничего не получилось.