Предел, два способа, разные ответы, где ошибка?

[valkat]

Добрый день!
Помогите разобраться где у меня ошибка. Решаю предел двумя способами, первый приводит к верному результату, а второй - к ошибочному, хотя во втором способе я не вижу ничего противоречивого в вычислениях.
Итак:
1 способ:
имеем:
$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}$
преобразовываем:
$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x - a^a + x^x - a^x}{x - a} = \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x - a^a }{x - a} + \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^x}{x - a} $
Решаем первый:
$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^a(a^{x-a} - 1)}{x - a}\to lna = a^alna = $
Второй чуть посложней:
$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a} = \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x(\frac{x}{a}^x - 1)}{x - a} = \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x(e^{xln\frac{x}{a}}- 1)}{x - a}\frac{xln\frac{x}{a}}{xln\frac{x}{a}}= \frac{a^x xln\frac{x}{a}}{x-a} = a^xxln\frac{x}{a}^{\frac{1}{x-a}} $$ $$= \lim\limits_{x\to a}^{}a^xxln(\frac{x-a}{a}+1)^{\frac{a}{(x-a)a}}$$ $$= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^{a+1}}{a} = a^a$
Складывая полученные два предела получаем

$$a^a+a^alna$$

Первый способ понятен, ответ как в учебнике

А вот второй способ:
имеем:
$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}$
делаем замену:

$$ t = x-a \Rightarrow x = t+a$$

Значит получаем

$$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^{t+a} - a^a}{t}$$

$$ = \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t} = \lim\limits_{t\to 0}^{}(t+a)^t (=1)\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a - a^a}{t}$$

Далее вынесем $a^a$ за скобки и имеем:
$\lim\limits_{t\to 0}^{}a^a\frac{(\frac{t}{a} + 1)^a - 1}{t}$
Известно, что:
$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(1+t)^p - 1}{t} = p$
То есть, домножая и деля числитель на $\frac{t}{a}$
получим:
$\lim\limits_{t\to 0}^{}a^a\frac{(\frac{t}{a} + 1)^a - 1}{ta\frac{t}{a}}\frac{t}{a}$
$= a^a a \frac{t}{a}\frac {1}{t} = a^a$
Укажите пожалуйста ошибку в вычислении во втором способе, имею ли я право делать такую замену?
Первый способ решен верно, нет сомнений
есть подозрение, что
$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(1+\frac{t}{p}t)^p - 1}{\frac{t}{p}} \ne p $
То есть аргумент $x$ в числителе и знаменателе не может быть разделен на показатель степени, так ли это?

[svv]

valkat в сообщении #1163020 писал(а):

$$ \frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t} {\color{magenta}=} (t+a)^t \frac{(t+a)^a - a^a}{t}$$

Я позволил себе убрать из цитаты лишнее.

[valkat]

svv в сообщении #1163022 писал(а):

valkat в сообщении #1163020 писал(а):

$$ \frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t} {\color{magenta}=} (t+a)^t \frac{(t+a)^a - a^a}{t}$$

Я позволил себе убрать из цитаты лишнее.

Тут имеется ввиду:

$$ \frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t} = (t+a)^t \frac{(t+a)^a}{t} - \frac{a^a}{t}$$

После превращения первой части в единицу, преобразовывая оставшееся:

$$\frac{(t+a)^a}{t} - \frac{a^a}{t} = \frac{(t+a)^a - a^a}{t}$$

[Brukvalub]

valkat в сообщении #1163020 писал(а):

$$ = \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t} = \lim\limits_{t\to 0}^{}(t+a)^t (=1)\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a - a^a}{t}$$

Вычисление пределов происходит на основе теорем о свойствах предела. Сформулируйте ту теорему, по которой вы сначала перешли к пределу в одном из слагаемых, а уж потом - в том, что осталось.

[valkat]

Предел суммы, равен суммы пределов. Предел произведения функций, равен произведению пределов, то есть

$$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t} = \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^a }{t}- \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{a^a}{t} $$

Разве нет?
То есть имеем два предела, первый из которых:
$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^t }{t} = \lim\limits_{t\to 0}^{}(t+a)^t\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a}{t}$
А значит учитывая свойства (предел суммы, предел произведения)
$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^t - a^a}{t} = \lim\limits_{t\to 0}^{}(t+a)^t\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a}{t} - \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{a^a}{t}$
Где предел
$\lim\limits_{t\to 0}^{}(t+a)^t = 1$
И в конечном итоге получаем:
$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a}{t} - \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{a^a}{t} = \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a - a^a}{t}$

Вот выглядит же все очень логично

[Otta]

valkat в сообщении #1163066 писал(а):

Предел произведения функций, равен произведению пределов,

Всегда? Там, вообще-то, условия есть. Как и про сумму/разность и т.п.

[Brukvalub]

valkat в сообщении #1163066 писал(а):

Разве нет?

Сформулируйте теорему о сумме и произведении пределов полностью, а не на уровне "слышал звон, да не знаю, где он".

[valkat]

1е:
Поправьте пожалуйста: свойства суммы и произведения выполняются не для расширенной прямой? То есть предел должен быть определен?
т.е. (-\infty;+\infty)$ бесконечности не включаются
2е
Есть утверждение: для сходящихся последовательностей предел их суммы, равен сумме их пределов. Для функции аналогично
но если я предположил, что разбиваемые пределы сходятся

[svv]

valkat в сообщении #1163074 писал(а):

свойства суммы и произведения выполняются не для расширенной прямой? То есть предел должен быть определен?

У Вас в правой части оба предела бесконечные. Чему определённому может быть равна их разность?

[valkat]

Ну они бесконечные, до преобразований,
Посмотрите пожалуйста первое сообщение, решение предела первым способом, я же тоже разделяю два предела $\frac{0}{0}$ которые не определены.
Хотя нет, неопределенность может быть определена (Такая вот философия), а бесконечности уже определены, и вот свойства пределов на расширенной прямой не выполняются.
Все, мне можно поставить 3?

[svv]

valkat в сообщении #1163082 писал(а):

я же тоже разделяю два предела $\frac{0}{0}$ которые не определены

В смысле, делите друг на друга два выражения, пределы которых равны нулю? Это пожалуйста. Чего Вы не можете — это написать «предел первого выражения, делённый на предел второго выражения». Это будет означать — ноль, делённый на ноль.