Добрый день!
Помогите разобраться где у меня ошибка. Решаю предел двумя способами, первый приводит к верному результату, а второй - к ошибочному, хотя во втором способе я не вижу ничего противоречивого в вычислениях.
Итак:
1 способ:
имеем:
![$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}$ $$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/1/9e1910c389d0da15a69a1dff3fff3c4882.png)
преобразовываем:
![$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x - a^a + x^x - a^x}{x - a}
= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x - a^a }{x - a} + \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^x}{x - a} $ $$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x - a^a + x^x - a^x}{x - a}
= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x - a^a }{x - a} + \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^x}{x - a} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/b/cbbfd42efe27bf599bb7b2c7746440e882.png)
Решаем первый:
![$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^a(a^{x-a} - 1)}{x - a}\to lna = a^alna = $ $$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^a(a^{x-a} - 1)}{x - a}\to lna = a^alna = $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/7/35744f154dcf2a3398b915ef2b1b8ebd82.png)
Второй чуть посложней:
![$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}
= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x(\frac{x}{a}^x - 1)}{x - a}
= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x(e^{xln\frac{x}{a}}- 1)}{x - a}\frac{xln\frac{x}{a}}{xln\frac{x}{a}}= \frac{a^x xln\frac{x}{a}}{x-a}
= a^xxln\frac{x}{a}^{\frac{1}{x-a}} $$
$$= \lim\limits_{x\to a}^{}a^xxln(\frac{x-a}{a}+1)^{\frac{a}{(x-a)a}}$$
$$= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^{a+1}}{a} = a^a$ $$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}
= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x(\frac{x}{a}^x - 1)}{x - a}
= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^x(e^{xln\frac{x}{a}}- 1)}{x - a}\frac{xln\frac{x}{a}}{xln\frac{x}{a}}= \frac{a^x xln\frac{x}{a}}{x-a}
= a^xxln\frac{x}{a}^{\frac{1}{x-a}} $$
$$= \lim\limits_{x\to a}^{}a^xxln(\frac{x-a}{a}+1)^{\frac{a}{(x-a)a}}$$
$$= \lim\limits_{x\to a}^{}\frac{a^{a+1}}{a} = a^a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/f/80f5314cc55c8c5b6015ca81d1cb5e0d82.png)
Складывая полученные два предела получаем
![$$a^a+a^alna$$ $$a^a+a^alna$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/c/6ec9c62d26d7849f65c656f98674191a82.png)
Первый способ понятен, ответ как в учебнике
А вот второй способ:
имеем:
![$$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}$ $$\lim\limits_{x\to a}^{}\frac{x^x - a^a}{x - a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/1/9e1910c389d0da15a69a1dff3fff3c4882.png)
делаем замену:
![$$ t = x-a \Rightarrow x = t+a$$ $$ t = x-a \Rightarrow x = t+a$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/2/702738540d169dd01002a8df19b05abe82.png)
Значит получаем
![$$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^{t+a} - a^a}{t}$$ $$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^{t+a} - a^a}{t}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e14eaa03b4d62b60156733029bf3a1982.png)
![$$ = \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t}
= \lim\limits_{t\to 0}^{}(t+a)^t (=1)\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a - a^a}{t}$$ $$ = \lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^t(t+a)^a - a^a}{t}
= \lim\limits_{t\to 0}^{}(t+a)^t (=1)\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(t+a)^a - a^a}{t}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/0/870b88574acb1b33644c6b65f06015f282.png)
Далее вынесем
![$a^a$ $a^a$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/2/9829247023d2a810ef827790be72de3082.png)
за скобки и имеем:
![$\lim\limits_{t\to 0}^{}a^a\frac{(\frac{t}{a} + 1)^a - 1}{t}$ $\lim\limits_{t\to 0}^{}a^a\frac{(\frac{t}{a} + 1)^a - 1}{t}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/d/b0d34e9b6713580b8259ba62c0c938c382.png)
Известно, что:
![$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(1+t)^p - 1}{t} = p$ $\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(1+t)^p - 1}{t} = p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/2/fe2f3effc97614ffb230cde68ee2cb7282.png)
То есть, домножая и деля числитель на
![$\frac{t}{a}$ $\frac{t}{a}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/3/e93a3613b490cba0b40ab1546e51837e82.png)
получим:
![$\lim\limits_{t\to 0}^{}a^a\frac{(\frac{t}{a} + 1)^a - 1}{ta\frac{t}{a}}\frac{t}{a}$ $\lim\limits_{t\to 0}^{}a^a\frac{(\frac{t}{a} + 1)^a - 1}{ta\frac{t}{a}}\frac{t}{a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/b/d2b92c7e5b545abba621fc9cfe3cdd6582.png)
![$= a^a a \frac{t}{a}\frac {1}{t} = a^a$ $= a^a a \frac{t}{a}\frac {1}{t} = a^a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/2/c12bce087f46a110741ef9473812390c82.png)
Укажите пожалуйста ошибку в вычислении во втором способе, имею ли я право делать такую замену?
Первый способ решен верно, нет сомнений
есть подозрение, что
![$\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(1+\frac{t}{p}t)^p - 1}{\frac{t}{p}} \ne p $ $\lim\limits_{t\to 0}^{}\frac{(1+\frac{t}{p}t)^p - 1}{\frac{t}{p}} \ne p $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/2/cf2db9b20f4e68c776864d582f76dd5482.png)
То есть аргумент
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
в числителе и знаменателе не может быть разделен на показатель степени, так ли это?