Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[Коровьев]

Попробуем так.
Ангел пишет мелом на бесконечной доске группы по десять цифр, Чёрт каждый раз, втихаря, стирает первую в ряду. Ангел находит сумму оставшихся чисел.
Цифры и результаты такие
$S_1=\frac{1}{2}+…+\frac{1}{10}$
$S_2=\frac{1}{3}+…+\frac{1}{20}$
…
$S_N=\frac{1}{n+1}+…+\frac{1}{n10}$

$\int_{n+1}^{10n}\frac{1}{x+1}dx<S_N<\int_{n}^{10n}\frac{1}{x} dx$

$\ln \frac{10n+1}{n+2}<S_N<\ln \frac{10n}{n}$

$\lim_{n\to\infty} S_N=\ln 10$
***
Мда. Доска пуста, ведь любое, наперёд заданное число $\frac{1}{n}$, Чёрт стёр ещё в $n$-ом акте вандализма.
А сумма у Ангела есть...

[shwedka]

вспомните теорему Лебега о доминированной сходимости. У Вас суммируемой доминанты нет, потому предельный переход под знаком интеграла не обоснован. Подынтегральные функции сходятся всюду к нулю, а интеграл идет не к нулю. Никакого парадокса.

[MaximKat]

А где там предельный переход под знаком интеграла? Мы же, вроде, сначала интеграл вычисляем, а потом уже переходим к пределу

[Коровьев]

shwedka писал(а):

вспомните теорему Лебега о доминированной сходимости. У Вас суммируемой доминанты нет, потому предельный переход под знаком интеграла не обоснован. Подынтегральные функции сходятся всюду к нулю, а интеграл идет не к нулю. Никакого парадокса.

Начну с того, что ошибок наделал немеряно Хотя на конечный результат они не сказались.
Пришлось взять школьную тетрадь в клеточку и делать "эскизы"
Может тут уже и без ошибок.
$\int_{n+1}^{10n+1}\frac{1}{x}dx<S_N<\int_{n+1}^{10n+1}\frac{1}{x-1} dx$

$\ln \frac{10n+1}{n+1}<S_N<\ln \frac{10n}{n}$

$\lim_{n\to\infty} S_N=\ln 10$

Далее.Нет у меня никаких предельных переходов под знаком интеграла.
И где тут ошибка?
$\int_{n+1}^{10n+1}\frac{1}{x-1} dx=\ln \frac{10n}{n}=\ln 10$

[shwedka]

Нет,, ошибка не в формулах, а в словах. У Вас последовательность функций. Вы считаете интегралы и видите, что они стремятся к чему-то ненулевому. После этого Вы смотрите на предельную функцию, видите, что она ноль, и возмущаетесь, ведь интеграл от нулевой функции ноль.
так я и говорю, что здесь и не нужно возмущаться. от того, что предельная функция ноль вовсе не следует, что интегралы к нулю стремятся. Об этом Лебег, покойничек, писал. Нет у вас противоречия.

[Коровьев]

shwedka писал(а):

Нет,, ошибка не в формулах, а в словах. У Вас последовательность функций. Вы считаете интегралы и видите, что они стремятся к чему-то ненулевому. После этого Вы смотрите на предельную функцию, видите, что она ноль, и возмущаетесь, ведь интеграл от нулевой функции ноль.
так я и говорю, что здесь и не нужно возмущаться. от того, что предельная функция ноль вовсе не следует, что интегралы к нулю стремятся. Об этом Лебег, покойничек, писал. Нет у вас противоречия.

Что- то шибко мудрёно. Про возмущение и предельную функцию которая ноль. Я на неё и не смотрел. Она зажата между двумя не нулевыми интегралами и быть нулём не может.

[Sinus]

Коровьев, у вас предел суммы равен $\ln 10$. Однако в полдень в данном примере - момент времени, который идет за всеми остальными моментами, и к нему этот предел не имеет никакого отношения.

Вообще, если перенумеровать все моменты времени натуральными числами, то полдень можно интерпретировать как первое не конечное порядковое число.

[Коровьев]

Sinus писал(а):

Коровьев, у вас предел суммы равен $\ln 10$. Однако в полдень в данном примере - момент времени, который идет за всеми остальными моментами, и к нему этот предел не имеет никакого отношения.

Вообще, если перенумеровать все моменты времени натуральными числами, то полдень можно интерпретировать как первое не конечное порядковое число.

Однако. Пока здесь ещё никто не формализовал исходную задачу с применением понятия "Полдень"
Someone формализовал задачу с позиций теории множеств, есстественно без "Полдня", и парадокс исчез. Ящик пуст. Возражений нет.
Я формализовал задачу без привлечения понятий теории множеств, и парадокс тоже исчез. Сумма бесконечного числа бесконечно малых величин оказалась вполне конечной величиной, хотя назвать какое число /хотя бы одно не равное нулю/ осталось на доске невозможно. Просто здесь наглядно видно, "как заметаются под ковёр"/Фейнман/ в исходной задаче бесконечности. Шаров в ящике осталось бесконечно много, но назвать номер хотя бы одного бесконечного шара просто невозможно. Отсюда и делается вывод, что ящик пуст.
Задача составлена так, что она имеет два разных, но верных решения./Смотря какой слепой и что ощупывает у слона./. Но почему-то второй подход напрочь отвергается.

[Профессор Снэйп]

Коровьев писал(а):

Однако. Пока здесь ещё никто не формализовал исходную задачу с применением понятия "Полдень"

Почему никто? См. сюда (читать вторую часть сообщения, после синей строчки).

[SAN_666]

Нет желающих увидеть простое (в две строчки) решение?

[Brukvalub]

SAN_666 писал(а):

Нет желающих увидеть простое (в две строчки) решение?

Нет, ну совсем нет здесь таких желающих!

[SAN_666]

Brukvalub писал(а):

SAN_666 писал(а):

Нет желающих увидеть простое (в две строчки) решение?

Нет, ну совсем нет здесь таких желающих!

Тогда зачем изобретать велосипед?

[ljubarcev]

powerZ писал(а):

Коровьев писал(а):

Сколько шаров останется в ящике в полдень?

А полдень вообще наступит?

Уважаемые господа !. Вы написали в теме много умных математических вещей, о результата не получается, так и должно быть. Ответ содержится в цитируемом вопросе Power2 . С точки зрения логики задача не корректна. С точки зрения математики предложенный процесс бесконечен и полдень никогда не наступит, так что существование полдня как такового никакого отношения к процессу не иемеет. Рассматриваемая задача логически полностью соответствует следующей бессмыслице: так как $1+1=2$, то какого цвета мои волосы?
Дед.

[SAN_666]

ljubarcev, вы отвергаете наличие предела сходящейся последовательности?

[ljubarcev]

SAN_666 писал(а):

ljubarcev, вы отвергаете наличие предела сходящейся последовательности?

Доказательство – это рассуждение, вот я и привёл своё понимание задачи. Приведу ещё одно. Вот например: я всю жизнь работаю на государство (вкладываю в него шары), регулярно получая обратно в виде зарплаты шар обратно. Так что, Вы считаете, что в конце концов я разорю государство?.
А почему Вы считаете последовательность сходящейся, если Вы на каждом шаге вкладываете больше чем вынимаете?
Я считаю, что математический предел конечно существует и равен бесконечности, если вычислять количество остающихся шаров. Так как каждый из остающихся шаров имеет номер, то последний шар вытащен быть не может. Но предел и у меня и у государства наступит значительно раньше, чем у рассматриваемой математической последовательности – ведь всё что родилось когда-то (и совсем не в бесконечности) должно умереть. К сожалению и одновременно к счастью каждый из нас живёт так, как будто у него впереди вечность. Вот это действительно противоречие – обе крайности катастрофичны и для каждого человека и для государства.
Дед.