2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 20:18 


14/04/15
187
Объясните пожалуйста, как решить пример из задачника по функциональному анализу. Есть метрическое пространство непрерывных функций $C[0,5]$, последовательность $ x_n=\frac{nt^2+n^2t}{1+n^2t}$ и точка $a=1$. Нужно проверить, сходится ли заданная последовательность $x_n$ метрического пространства $C[0,5]$ к точке $a$. Подскажите, с чего хотя бы начать решение данного и аналогичных ему примеров.
В пространстве непрерывных функций $C[0,5]$ метрика $d(x_n(t),y_n(t))=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-y_n(t)|$. По определению предела в метрическом пространстве,
$\forall \varepsilon>0\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_\varepsilon\, d(x_n,a) \leqslant \varepsilon$. То есть, мне нужно проверить это условие? Мне нужно подставить в определение метрики на место $y_n(t)$ точку $a$? Но $a$ это число, а $x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$ и мне не понятно, как отнять одно от другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 20:34 
Модератор


19/10/15
1196
Нужны попытки решения. Хотя бы приведите определение сходимости и объясните, где у Вас возникают проблемы с применением этого определения.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.10.2016, 20:34 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.10.2016, 21:03 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
Мне нужно подставить в определение метрики на место $y_n(t)$ точку $a$? Но $a$ это число, а $x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$ и мне не понятно, как отнять одно от другого.
$a$ это не число. $a$, по условию, это точка в пространстве $C[0,5]$, то есть функция на заданном отрезке. Имеется в виду постоянная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
Но $a$ это число,

Неа. $a$ - это функция от $t$, равная $a$ при всех $t$.
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
$x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$

Неа. $x_{17}$ - это функция только от $t$ (равная $\frac{17t^2 +289t}{1+289t}$)
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
мне не понятно, как отнять одно от другого.

Напишите меж ними "минус" - и будет что надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:28 


14/04/15
187
хорошо, по определению метрики в $C[0,5]$
$d(x_n(t),a(t))=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-a(t)|=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-1|$. Мне не понятно, как посчитать значение этого выражения. Если это выражение стремится к нулю, то это означает, что последовательность сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Aiyyaa в сообщении #1160640 писал(а):
Мне не понятно, как посчитать значение этого выражения.
Ну напишите определение супремума и что Вы знаете про супремум непрерывной функции на отрезке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:45 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1160643 писал(а):
Ну напишите определение супремума и что Вы знаете про супремум непрерывной функции на отрезке.






супремум это точная верхняя граница, если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений. То есть мне нужно найти супремум $x_n(t)$ и отнять от него значение непрерывной функции $a=1$? При каком значение этой разности функции сходится? При нуле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Aiyyaa в сообщении #1160646 писал(а):
То есть мне нужно найти супремум $x_n(t)$ и отнять от него значение непрерывной функции $a=1$?
Нет, Вам нужно найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Это разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:01 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1160651 писал(а):
Нет, Вам нужно найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Это разные вещи.

мне непонятно, как его найти, нужно предположить, что $n\to\infty$ и найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}|x_n(t) - 1|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Для начала найдите его как последовательность, зависящую от $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:09 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1160655 писал(а):
Для начала найдите его как последовательность, зависящую от $n$.

что мне нужно найти как последовательность, зависящую от $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Aiyyaa в сообщении #1160654 писал(а):
нужно предположить, что $n\to\infty$ и найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}|x_n(t) - 1|$?
Нет. Нужно считать $n$ фиксированным числом и найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Вы знаете, что такое супремум (непрерывной) функции на отрезке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:15 


14/04/15
187
Someone в сообщении #1160660 писал(а):
Вы знаете, что такое супремум (непрерывной) функции на отрезке?

супремум непрерывной функции на отрезке это максимальное значение функции на этом отрезке. Вместо $n$ можно взять любое число?

-- 17.10.2016, 22:20 --

Aiyyaa в сообщении #1160664 писал(а):
и найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$

Или мне нужно найти производную данной последовательности дифференцируя по $t$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group