2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 20:18 


14/04/15
187
Объясните пожалуйста, как решить пример из задачника по функциональному анализу. Есть метрическое пространство непрерывных функций $C[0,5]$, последовательность $ x_n=\frac{nt^2+n^2t}{1+n^2t}$ и точка $a=1$. Нужно проверить, сходится ли заданная последовательность $x_n$ метрического пространства $C[0,5]$ к точке $a$. Подскажите, с чего хотя бы начать решение данного и аналогичных ему примеров.
В пространстве непрерывных функций $C[0,5]$ метрика $d(x_n(t),y_n(t))=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-y_n(t)|$. По определению предела в метрическом пространстве,
$\forall \varepsilon>0\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_\varepsilon\, d(x_n,a) \leqslant \varepsilon$. То есть, мне нужно проверить это условие? Мне нужно подставить в определение метрики на место $y_n(t)$ точку $a$? Но $a$ это число, а $x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$ и мне не понятно, как отнять одно от другого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 20:34 
Модератор


19/10/15
1196
Нужны попытки решения. Хотя бы приведите определение сходимости и объясните, где у Вас возникают проблемы с применением этого определения.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.10.2016, 20:34 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.10.2016, 21:03 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
Мне нужно подставить в определение метрики на место $y_n(t)$ точку $a$? Но $a$ это число, а $x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$ и мне не понятно, как отнять одно от другого.
$a$ это не число. $a$, по условию, это точка в пространстве $C[0,5]$, то есть функция на заданном отрезке. Имеется в виду постоянная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
Но $a$ это число,

Неа. $a$ - это функция от $t$, равная $a$ при всех $t$.
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
$x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$

Неа. $x_{17}$ - это функция только от $t$ (равная $\frac{17t^2 +289t}{1+289t}$)
Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):
мне не понятно, как отнять одно от другого.

Напишите меж ними "минус" - и будет что надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:28 


14/04/15
187
хорошо, по определению метрики в $C[0,5]$
$d(x_n(t),a(t))=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-a(t)|=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-1|$. Мне не понятно, как посчитать значение этого выражения. Если это выражение стремится к нулю, то это означает, что последовательность сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Aiyyaa в сообщении #1160640 писал(а):
Мне не понятно, как посчитать значение этого выражения.
Ну напишите определение супремума и что Вы знаете про супремум непрерывной функции на отрезке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:45 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1160643 писал(а):
Ну напишите определение супремума и что Вы знаете про супремум непрерывной функции на отрезке.






супремум это точная верхняя граница, если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений. То есть мне нужно найти супремум $x_n(t)$ и отнять от него значение непрерывной функции $a=1$? При каком значение этой разности функции сходится? При нуле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Aiyyaa в сообщении #1160646 писал(а):
То есть мне нужно найти супремум $x_n(t)$ и отнять от него значение непрерывной функции $a=1$?
Нет, Вам нужно найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Это разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:01 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1160651 писал(а):
Нет, Вам нужно найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Это разные вещи.

мне непонятно, как его найти, нужно предположить, что $n\to\infty$ и найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}|x_n(t) - 1|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Для начала найдите его как последовательность, зависящую от $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:09 


14/04/15
187
Xaositect в сообщении #1160655 писал(а):
Для начала найдите его как последовательность, зависящую от $n$.

что мне нужно найти как последовательность, зависящую от $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17992
Москва
Aiyyaa в сообщении #1160654 писал(а):
нужно предположить, что $n\to\infty$ и найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}|x_n(t) - 1|$?
Нет. Нужно считать $n$ фиксированным числом и найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Вы знаете, что такое супремум (непрерывной) функции на отрезке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве
Сообщение17.10.2016, 22:15 


14/04/15
187
Someone в сообщении #1160660 писал(а):
Вы знаете, что такое супремум (непрерывной) функции на отрезке?

супремум непрерывной функции на отрезке это максимальное значение функции на этом отрезке. Вместо $n$ можно взять любое число?

-- 17.10.2016, 22:20 --

Aiyyaa в сообщении #1160664 писал(а):
и найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$

Или мне нужно найти производную данной последовательности дифференцируя по $t$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group