Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве

[Aiyyaa]

Объясните пожалуйста, как решить пример из задачника по функциональному анализу. Есть метрическое пространство непрерывных функций $C[0,5]$, последовательность $ x_n=\frac{nt^2+n^2t}{1+n^2t}$ и точка $a=1$. Нужно проверить, сходится ли заданная последовательность $x_n$ метрического пространства $C[0,5]$ к точке $a$. Подскажите, с чего хотя бы начать решение данного и аналогичных ему примеров.
В пространстве непрерывных функций $C[0,5]$ метрика $d(x_n(t),y_n(t))=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-y_n(t)|$. По определению предела в метрическом пространстве,
$\forall \varepsilon>0\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_\varepsilon\, d(x_n,a) \leqslant \varepsilon$. То есть, мне нужно проверить это условие? Мне нужно подставить в определение метрики на место $y_n(t)$ точку $a$? Но $a$ это число, а $x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$ и мне не понятно, как отнять одно от другого.

[Karan]

Нужны попытки решения. Хотя бы приведите определение сходимости и объясните, где у Вас возникают проблемы с применением этого определения.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Xaositect]

Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):

Мне нужно подставить в определение метрики на место $y_n(t)$ точку $a$? Но $a$ это число, а $x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$ и мне не понятно, как отнять одно от другого.

$a$ это не число. $a$, по условию, это точка в пространстве $C[0,5]$, то есть функция на заданном отрезке. Имеется в виду постоянная функция.

[DeBill]

Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):

Но $a$ это число,

Неа. $a$ - это функция от $t$, равная $a$ при всех $t$.

Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):

$x_n$ последовательность, зависящая от $n$ и $t$

Неа. $x_{17}$ - это функция только от $t$ (равная $\frac{17t^2 +289t}{1+289t}$)

Aiyyaa в сообщении #1160609 писал(а):

мне не понятно, как отнять одно от другого.

Напишите меж ними "минус" - и будет что надо.

[Aiyyaa]

хорошо, по определению метрики в $C[0,5]$
$d(x_n(t),a(t))=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-a(t)|=\sup\limits_{t\in[0,5]}|x_n(t)-1|$. Мне не понятно, как посчитать значение этого выражения. Если это выражение стремится к нулю, то это означает, что последовательность сходится?

[Xaositect]

Aiyyaa в сообщении #1160640 писал(а):

Мне не понятно, как посчитать значение этого выражения.

Ну напишите определение супремума и что Вы знаете про супремум непрерывной функции на отрезке.

[Aiyyaa]

Xaositect в сообщении #1160643 писал(а):

Ну напишите определение супремума и что Вы знаете про супремум непрерывной функции на отрезке.

супремум это точная верхняя граница, если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений. То есть мне нужно найти супремум $x_n(t)$ и отнять от него значение непрерывной функции $a=1$? При каком значение этой разности функции сходится? При нуле?

[Xaositect]

Aiyyaa в сообщении #1160646 писал(а):

То есть мне нужно найти супремум $x_n(t)$ и отнять от него значение непрерывной функции $a=1$?

Нет, Вам нужно найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Это разные вещи.

[Aiyyaa]

Xaositect в сообщении #1160651 писал(а):

Нет, Вам нужно найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Это разные вещи.

мне непонятно, как его найти, нужно предположить, что $n\to\infty$ и найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}|x_n(t) - 1|$?

[Xaositect]

Для начала найдите его как последовательность, зависящую от $n$.

[Aiyyaa]

Xaositect в сообщении #1160655 писал(а):

Для начала найдите его как последовательность, зависящую от $n$.

что мне нужно найти как последовательность, зависящую от $n$?

[Someone]

Aiyyaa в сообщении #1160654 писал(а):

нужно предположить, что $n\to\infty$ и найти предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}|x_n(t) - 1|$?

Нет. Нужно считать $n$ фиксированным числом и найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$. Вы знаете, что такое супремум (непрерывной) функции на отрезке?

[Aiyyaa]

Someone в сообщении #1160660 писал(а):

Вы знаете, что такое супремум (непрерывной) функции на отрезке?

супремум непрерывной функции на отрезке это максимальное значение функции на этом отрезке. Вместо $n$ можно взять любое число?

-- 17.10.2016, 22:20 --

Aiyyaa в сообщении #1160664 писал(а):

и найти супремум функции $|x_n(t) - 1|$

Или мне нужно найти производную данной последовательности дифференцируя по $t$?