Терминология теории функций: f(x) и f(-x) - зачем?

[bssgrad]

У меня 2 вопроса, кот.не описаны в учебниках так подробно, как мне нужно.
1. Как читается запись функции:$f(x)$? Т.к. ф-ция $f$ определена на мн-ве всех $x$, то я читаю "эф на икс".
2. В учебнике читаю: " Нетрудно заметить, что ордината ф-ции $y=f(-x)$ в точке $x$ равна ординате графика функции $y=f(x)$ в точке $-x$".
Я начинаю рассуждать и прихожу к выводу, что $-x$ может принимать те же значения, что и $x$, и тогда выходит, что графики этих функций идентичны!?
Но это скорее всего неверно, т.к. далее написано: "Это значит, что график функции $y=f(-x)$ может быть получен из графика функции $y=f(x)$ преобразованием симметрии относительно оси $Oy$".
Из этого я делаю вывод: Если $y=f(x)$, то графики функций $f(x)$, $f(-x)$, $f(x+1)$ будут различаться только ординатой (выражением после знака равно в $f(...)=...$), а их абсциссы будут равны?!

[Someone]

bssgrad в сообщении #1160469 писал(а):

1. Как читается запись функции: f(x)? Т.к. ф-ция f определена на мн-ве всех x, то я читаю "эф на икс".

Эф от икс. И здесь $x$ — это не множество значений, а переменная, вместо которой можно подставлять различные значения.

bssgrad в сообщении #1160469 писал(а):

2. В учебнике читаю: " Нетрудно заметить, что ордината ф-ции y=f(-x) в точке x равна ординате графика функции y=f(x) в точке -x".
Я начинаю рассуждать и прихожу к выводу, что -x может принимать те же значения, что и x, и тогда выходит, что графики этих функций идентичны!?

А Вам известны понятия чётной функции, нечётной функции? И что такое график функции?

[Евгений Машеров]

Потому, что переменная и значение переменной не одно и то же. Хотя вещи связанные, и часто одинаково обозначаемые. Как правило, из контекста понятно, о чём речь. В частности, $f(-x)$ подразумевает, что переменная-аргумент имеет определённое значение, равное $-x$, где x принимает известное значение.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[bssgrad]

Someone в сообщении #1160472 писал(а):

А Вам известны понятия чётной функции, нечётной функции? И что такое график функции?

Да, с этими понятиями я познакомился и знаю, что, если $f(x)=f(-x)$, то функция четная. Но четность/нечетность функции зависят не от абсциссы, а от ординаты, а меня интересует именно, что является абсциссой функции $f(-x)$.

[Someone]

bssgrad в сообщении #1162541 писал(а):

что является абсциссой функции $f(-x)$.

Первый раз слышу, что у функции есть какие-то абсцисса и ордината. Абсцисса и ордината — это характеристики точки на плоскости по отношению к декартовой системе координат (у точки в трёхмерном пространстве, кроме абсциссы и ординаты, имеется ещё аппликата). А у функции есть аргумент и значение. В частности, в $f(-x)$ аргументом является $-x$. А $f(-x)$ — соответствующее этому аргументу значение. Сама же функция — это $f$.

[grizzly]

Ещё можно сказать, что каждой функции соответствует график функции -- множество точек вида $(x, f(x))$ на координатной плоскости. Вот у каждой точки этого графика имеются координаты: абсцисса и ордината -- $x$ и $f(x)$, соответственно. Как раз о них и шла речь в учебнике.
А в этой цитате из учебника

bssgrad в сообщении #1160469 писал(а):

Нетрудно заметить, что ордината ф-ции $y=f(-x)$ в точке $x$

я думаю, что Вы пропустили слово "графика". Сверьтесь, пожалуйста, с учебником.

[arseniiv]

bssgrad в сообщении #1162541 писал(а):

Да, с этими понятиями я познакомился и знаю, что, если $f(x)=f(-x)$, то функция четная.

Тут и может быть проблема. Полная версия определения звучит «если для всех $x$ из области определения $f$ верно $f(x) = f(-x)$, то функция $f$ чётная». Тут нет какого-то выделенного икса, это просто название для всевозможных подставляемых вместо него чисел из области определения функции. Переменная, собственно.

Обычно эти слова явно прописываются, но если нет, и перед вами утверждение, которое явно никак не зависит от $x$, но этот $x$ в него входит, предполагайте, что утверждение должно выполняться для всех разумных значений $x$. Обычно это будет то, что надо.

[Munin]

bssgrad
То, что вы имеете в виду, в математике бывает, и записывается как $f(\textit{ множество }).$ Называется это образом множества. Например, действительно, если записать $f(\mathbb{R})=f(-\mathbb{R}),$ то это ничего не будет говорить о том, чётная функция, или нечётная, или вообще никакая. Но это совсем другое, чем записать $f(x)=f(-x).$

На самом деле, это формально записывается несколько иначе:

$$\forall\,x\in\mathbb{R}\quad f(x)=f(-x).$$

Здесь формула $f(x)=f(-x)$ оказывается "внутри рамки", охваченная квантором всеобщности $\forall\,x\in\mathbb{R}.$ То есть, смысл этой записи такой, что $x$ принимает одно конкретное значение из множества $\mathbb{R},$ и тогда эта формула $f(x)=f(-x)$ рассматривается и выполняется. И это происходит для всех возможных вариантов выбрать $x$ из множества $\mathbb{R}.$

Но такая запись считается слишком "сухой и формальной", и вместо неё часто используются словесные пояснения и какие-то подразумеваемые умолчания. Именно на них вы и споткнулись.

[bssgrad]

grizzly в сообщении #1162550 писал(а):

я думаю, что Вы пропустили слово "графика". Сверьтесь, пожалуйста, с учебником.

Вы правы, пропустил слово "графика".