Поверхностные интегралы

[Otta]

StaticZero в сообщении #1159884 писал(а):

$$\mathrm dS = |\mathrm d \mathbf u \times \mathrm d \mathbf v| = |(\mathbf r(u + \mathrm du, v) - \mathbf r(u, v)) \times (\mathbf r(u, v + \mathrm dv) - \mathbf r(u, v))| = \left|\dfrac{\partial r}{\partial u} \mathbf e_u \mathrm du \ \times \ \dfrac{\partial r}{\partial v} \mathbf e_v \mathrm dv\right|.$$

Ну уже что-то. Так вот это последнее выражение $\mathbf r_u\times \mathbf r_v\, dudv$ и есть форма $dS$ для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве.
Если Вы его возведете в квадрат, после недолгих преобразований получится определитель матрицы Грама (само по себе интересное упражнение), элементы которой и есть коэффициенты первой квадратичной формы (=метрического тензора поверхности).

Матрица Грама позволяет вычислить объем параллелепипеда любой размерности, меньшей размерности пространства, так что можно придумать, как будут считаться поверхностные интегралы первого рода в общем случае.

... Но вообще, все эти вещи пишут в учебниках, причем гораздо лучше. :) Вы не пробовали читать?

[StaticZero]

Otta в сообщении #1159889 писал(а):

Вы не пробовали читать?

Дифференциальную геометрию мы ещё не проходим. Фихтенгольца как-то очень тяжело в этом месте читать, очень быстро мозги в кашу превращаются (смотрю в книгу — вижу фигу).

Я был бы рад, если бы именно по диффгеому вы что-то посоветовали, причём такое, что, может быть, было бы не слишком строгим, но достаточно понятным.

[Otta]

Нам в свое время это рассказывали именно на матанализе. Я так понимаю, больше Зорича придерживаясь. А Фихтенгольца именно в этой части я не читала, никак не могу прокомментировать. Может, доберусь, тогда.

Upd Посмотрела Зорича. Вряд ли это проще, чем Фихтенгольц, каким бы тот ни был.

[Metford]

StaticZero, не знаю, что Вас уж прямо так не устроило у Фихтенгольца, но нет - так нет.
Тогда Рашевский - "Курс дифференциальной геометрии".
Мне в своё время была полезна книга Позняка и Шикина "Дифференциальная геометрия. Первое знакомство" - там довольно схематично, но вполне доступно. А ещё есть "Теория поверхностей" Нордена, но это уже посложнее.

[svv]

StaticZero
Всегда, при любых жизненных обстоятельствах помните, что сказала Otta. Исходной точкой является матрица Грама и её определитель, для любых размерностей пространства и поверхности в нём. Всякие якобианы можно получить в конечном счёте отсюда.

StaticZero в сообщении #1159884 писал(а):

$$\mathrm dS = |\mathrm d \mathbf u \times \mathrm d \mathbf v| = |(\mathbf r(u + \mathrm du, v) - \mathbf r(u, v)) \times (\mathbf r(u, v + \mathrm dv) - \mathbf r(u, v))| = \left|\dfrac{\partial r}{\partial u} \mathbf e_u \mathrm du \ \times \ \dfrac{\partial r}{\partial v} \mathbf e_v \mathrm dv\right|.$$

Непонятна концовка. Обычно $\mathbf e_u$ и есть $\dfrac{\partial\mathbf r}{\partial u}$. Тогда
$dS=\left|\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial u}\times\dfrac{\partial \mathbf r}{\partial v}\right|du\;dv=\left|\mathbf e_u\times\mathbf e_v\right|du\;dv$
Может, под $\mathbf e_u$ понимается именно единичный вектор? Но какой смысл нормировать, если базис всё равно неортогональный...