Поверхностные интегралы

[Ms-dos4]

Так после того, как вы свели интеграл от поверхностного к интегралу по области
$\[\iint\limits_S {\left| {xyz} \right|dS} = \iint {\left| {xy({x^2} + {y^2})} \right|\sqrt {1 + 4({x^2} + {y^2})} }dxdy\]$
Вот теперь и переходите к другим координатам для удобства
$\[\iint\limits_S {\left| {xyz} \right|dS} = \iint {\left| {{r^4}\sin \varphi \cos \varphi } \right|\sqrt {1 + 4{r^2}} }rdrd\varphi \]$
Разве это то же самое, что вы получили, когда тупо сделали замену?

[StaticZero]

Ms-dos4 в сообщении #1159837 писал(а):

Разве это то же самое, что вы получили, когда тупо сделали замену?

Конечно, нет. Не могли бы указать, почему у меня так получилось? Я корень не учёл?

(О корне)

Я так понимаю, что этот корень представляет собой $1/\cos \varphi$, где $\varphi$ — угол проектирования площадки на поверхности на площадку на плоскости. То есть забывать его нельзя ни в коем случае. Но в полярных координатах (если переходить сразу) он не вылезает, или я не знаю, как его учесть. Через декартовы координаты хорошо видно, как он должен получиться, но я идеи пока не особо понимаю.

[Brukvalub]

А какая здесь может быть идея, чтобы ее "не понимать"? См. определение ПИПР-а - в этом определении используется элемент площади поверхности. В каких координатах не считай, этот элемент нужно учитывать.

[StaticZero]

А. То есть переход в другую систему координат осуществляется не от поверхностного интеграла, а именно уже от двойного по области, верно?

[Otta]

Трудно объяснить, почему в результате неправильных действий получается неправильный ответ.
Вы живете на поверхности. Чтобы заставить переменную интегрирования там находиться, надо поверхность параметризовать. Как это делать - вообще-то Ваш выбор, но приведенная выше формула годится только для случаев, когда поверхность рассматривается как график функции двух переменных.

StaticZero в сообщении #1159820 писал(а):

Запишем преобразование:

$$\begin{cases}x = r \cos \varphi, \\y = r \sin \varphi, \\z = x^2 + y^2 = r^2.\end{cases}$$

Это, кстати, весьма приличная параметризация. Для полного счастья не хватает области изменения параметра. У Вас там ниже некая область шла, осознанно, нет ли - но это нужная область. Так вышло.

Однако, для такой параметризации, общего вида, формула, которой Вы пользовались ранее, не годится. В таких случаях (да и вообще, это универсально для поверхностей в $\mathbb R^3$) $dS=\sqrt{EG-F^2}\, dudv$, где $dudv$ - элементарная площадка на плоскости, где лежит область изменения параметров.

[StaticZero]

Считаем "большие буковки":

$$ E = \left(\dfrac{\partial x}{\partial r} \right)^2 + \left(\dfrac{\partial y}{\partial r} \right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial r} \right)^2 = \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi + 4r^2 = 1 + 4r^2, $$

$$ G = \left(\dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2 + \left(\dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \right)^2 = r^2 \sin^2 \varphi + r^2 \cos^2 \varphi = r^2, $$

$$ F = \dfrac{\partial x}{\partial r} \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} + \dfrac{\partial y}{\partial r} \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} + \dfrac{\partial z}{\partial r} \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} = - r \cos \varphi \sin \varphi + r \sin \varphi \cos \varphi = 0. $$

$$\sqrt{E G - F^2} = r \sqrt{1 + 4r^2}.$$

Всё, теперь понял, к чему этот корень нужен

[Ms-dos4]

StaticZero
У вас ПОВЕРХНОСТНЫЙ интеграл - вам нужно, чтобы переменные "ходили" по поверхности, а не во всём пространстве, куда она вложена (я уж не знаю как ещё на пальцах сказать). В общем случае
$\[\iint\limits_S {fdS} = \iint\limits_D {f(u,v)\sqrt g dudv}\]$, где $\[g\]$ - определитель матрицы $\[{g_{ij}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_{11}}}&{{g_{12}}} \\ {{g_{12}}}&{{g_{22}}} \end{array}} \right)\]$ - это метрический тензор поверхности.
А вот теперь пусть у вас поверхность задана уравнением $\[z = z(x,y)\]$ (ну и функция $\[f = f(x,y,z)\]$). Метрический тензор поверхности говорит вам, как у вас устроены элементарные длины $\[d{l^2} = {g_{11}}d{u^2} + 2{g_{12}}dudv + {g_{22}}d{v^2}\]$. В декартовой системе $\[d{l^2} = d{x^2} + d{y^2} + d{z^2}\]$, но т.к. $\[dz = \frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial z}}{{\partial y}}dy\]$ имеем $\[d{l^2} = (1 + {(\frac{{\partial z}}{{\partial x}})^2})d{x^2} + (1 + {(\frac{{\partial z}}{{\partial y}})^2})d{y^2} + 2\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\frac{{\partial z}}{{\partial y}}dxdy\]$. Тогда
$\[{g_{ij}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial x}})}^2}}&{\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \\ {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\frac{{\partial z}}{{\partial y}}}&{1 + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial y}})}^2}} \end{array}} \right)\]$
и значит
$\[\iint\limits_S {fdS} = \iint\limits_D {f(x,y,z(x,y))\sqrt {(1 + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial x}})}^2})(1 + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial y}})}^2}) - {{(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\frac{{\partial z}}{{\partial y}})}^2}} dxdy}\]$
Вот и получаете $\[\iint\limits_D {f(x,y,z(x,y))\sqrt {1 + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial x}})}^2} + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial y}})}^2}} dxdy}\]$
В других случаях делается аналогично. Просто из декартовой - удобнее всего.

[StaticZero]

Тогда интеграл будет вот такой:

$$ \int \limits_0^{2 \pi} | \cos \varphi \sin \varphi | \ \mathrm d \varphi \int \limits_0^1 r^5 \sqrt{1 + 4 r^2} \ \mathrm dr. $$

(Две $r$ от $x$, $y$, затем $r^2$ от $z$, потом ещё от корня $r \sqrt{1 + 4r^2}$). Сейчас попробую вычислить.

-- 14.10.2016, 23:28 --

Ms-dos4, супер. Через метрический тензор сразу всё понятно стало. Вы волшебник

[Ms-dos4]

StaticZero
Вам Otta сказала то же самое. Эти $\[E,F,G\] $ - в точности компоненты метрики на поверхности (часто они называются коэффициентами первой квадратичной формы) $\[{g_{ij}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} E&F \\ F&G \end{array}} \right)\]$

[StaticZero]

Ms-dos4 в сообщении #1159859 писал(а):

Вам Otta сказала то же самое.

Это было не очень убедительно, так как не было понятно до конца, откуда эти самые $E$, $F$, $G$ берутся. А вот с элементарным кусочком длины всё (ну, или почти всё) встало на место. Привык, знаете ли, к элементарным кусочкам — физика виновата...

-- 14.10.2016, 23:45 --

Да, я посчитал — ответ сошёлся.

[Otta]

StaticZero в сообщении #1159865 писал(а):

Это было не очень убедительно, так как не было понятно до конца, откуда эти самые $E$, $F$, $G$

Вот и выясните. Они там очень естественно берутся, даже если не знать ни слова про метрические тензоры, а уметь считать площади, натянутые на пару векторов.

[StaticZero]

А натянутые на пару векторов — это как? Площадка ограничивается координатными линиями?

[Munin]

Площадка ограничивается координатными линиями, отстоящими на бесконечно малые изменения координат. Тогда она практически параллелограмм. А стороны этого параллелограмма - векторы, являющиеся направляющими векторами координатных линий.

[StaticZero]

Фишка параметризованной поверхности, видимо, в том, что в разных точках разные направляющие векторы, так как криволинейные координаты имеем.
Тогда

$$\mathrm dS = |\mathrm d \mathbf u \times \mathrm d \mathbf v| = |(\mathbf r(u + \mathrm du, v) - \mathbf r(u, v)) \times (\mathbf r(u, v + \mathrm dv) - \mathbf r(u, v))| = \left|\dfrac{\partial r}{\partial u} \mathbf e_u \mathrm du \ \times \ \dfrac{\partial r}{\partial v} \mathbf e_v \mathrm dv\right|.$$

Пока ничего больше не идёт в голову.

[Munin]

StaticZero в сообщении #1159884 писал(а):

Фишка параметризованной поверхности, видимо, в том, что в разных точках разные направляющие векторы, так как криволинейные координаты имеем.

Ага, верно. И вот эти величины - метрический тензор, первая квадратичная форма - они все являются функциями рассматриваемой точки.