Доска Гальтона

[arseniiv]

Насчёт кучи пространств: я с самого начала согласен, что достаточно пространства траекторий.

С равновероятностью действительно ерунда, гвозди у стенок мешают.

[Лукомор]

Henrylee в сообщении #1158008 писал(а):

Что до доски шариками - тут все траектории имеют одинаковое число шагов, кстати.

В этом и заключается иллюзия обмана.
Если мы не будем учитывать те детерминированные шаги, где шарик отражается от крайнего гвоздика только вовнутрь и никогда - наружу,
а будем считать только вероятностные шаги, когда шарик имеет возожность уйти либо вправо, либо влево, то и окажется, (я рассматриваю пример предложенный ТС, с восемью рядами "гвоздиков") то окажется, что не все пути будут состоять из восьми "вероятностных" шагов, в конкретном примере таких путей было 192, еще 24 имело семь "точек ветвления", при одном детерминированном отражении, и
еще 2 пути с шестью точками ветвления, и двумя детерминированными отражениями.
Именно на этих "укороченных" путях "ТС" и потерял ровно $24+3\cdot4=36$ вариантов...
Просто в случае с плэй-офф эти "урезанные" варианты находятся в конце соответствующего пути, а в случае с доской Гальтона они засунуты в середину пути, и поэтому не очевидны.

[Henrylee]

Это у Вас в голове иллюзии.
Число шагов у всех траекторий одинаковое. Вероятности разные. Вот и все. И не надо выдумывать "вероятностные шаги" и "урезанные траектории"

[Лукомор]

Henrylee в сообщении #1158064 писал(а):

Число шагов у всех траекторий одинаковое. Вероятности разные.

Разные вероятности свидетельствуют о том, что некоторые из "вариантов" не являются элементарными исходами.

[Karan]

Лукомор, замечание за распространение безграмотности. Элементарные исходы не обязательно равновероятны

[Лукомор]

Karan в сообщении #1158523 писал(а):

Элементарные исходы не обязательно равновероятны

Извините, больше не буду!
Замечу лишь, что я говорил о конкретно задаче предложенной ТС, где нет ничего, выходящего за рамки классического определения вероятности:

Цитата:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

$P( A ) = {\frac {n}{N}}$

-- Пн окт 10, 2016 09:52:22 --

arseniiv в сообщении #1158018 писал(а):

С равновероятностью действительно ерунда, гвозди у стенок мешают.

Достаточно представить, что нет гвоздей у стенок, а есть просто стенки...
Мне вот интересно, я один здесь вижу, что доска Гальтона эквивалентна задаче о дискретных случайных блужданиях?

[Karan]

Лукомор в сообщении #1158538 писал(а):

Замечу лишь, что я говорил о конкретно задаче предложенной ТС, где нет ничего, выходящего за рамки классического определения вероятности:

Вот как раз конкретно ТС, судя по его темам, не понимает конкретно того, что в присутствии стенок исходы неравновероятны, и пытается пользоваться этой формулой в случае неравновероятных исходов.

Лукомор в сообщении #1158538 писал(а):

Мне вот интересно, я один здесь вижу, что доска Гальтона эквивалентна задаче о дискретных случайных блужданиях?

В блужданиях стенок нет. А так да, это обычная марковская цепь.

[Лукомор]

Karan в сообщении #1158541 писал(а):

В блужданиях стенок нет.

Но могут быть.
Причем двух видов: либо поглощающие, либо отражающие.
Отражающие, правда, рассматриваются везде установленными на расстоянии строго равном половине одного дискретного "шага", и тогда все получается красиво: Частица за время одного "шага" доходит до экрана и возвращается на то же место, где была в конце предыдущего "шага".
ТС придвинул экран вплотную к крайней точке ветвления, поэтому и получились кратные траектории...

[Yu_K]

Такой вариант ещё увидел
http://mathoverflow.net/questions/255686/ping-pong-progress-through-a-quincunx

[Лукомор]

Yu_K в сообщении #1172181 писал(а):

Такой вариант ещё увидел

А я у Феллера нашел еще один тип экрана - упругий.
Нечто среднее между отражающим и поглощающим экраном, где с определенной вероятностью шарик отражается от стенки и с противоположной вероятностью не отражается, как-то так...

[vamoroz]

Удивительно, подавляющее большинство участников дискуссии считают, что вероятность отскока от отражающей стенки отличается от вероятности отскока от гвоздя вправо или влево. Вот, что по этому поводу говорит Karan

Karan в сообщении #1158541 писал(а):

ТС, судя по его темам, не понимает конкретно того, что в присутствии стенок исходы неравновероятны, и пытается пользоваться этой формулой в случае неравновероятных исходов.

Someone утверждает, что

Someone в сообщении #1166752 писал(а):

вероятность отскока вправо от гвоздика в два раза меньше, чем от левой стенки

Хочу привести небольшой расчет, доказывающий обратное.
Пусть в нечетном ряду прямоугольной доски Гальтона $n$ гвоздиков. Тогда в четном ряду окажется $(n+1)$ гвоздик. В доске Гальтона наблюдаются следующие события
- отскок от гвоздя влево (L)
- отскок от гвоздя вправо (R)
- отскок от левого экрана (S)
- отскок от правого экрана (T)
Таким образом, в нечетном ряду возможны $n$ событий L, $n$ событий R, одно событие S и одно событие T. В четном ряду возможны $(n+1)$ событие L и $(n+1)$ событие R.
Принимая во внимание соображения симметрии, приравниваем вероятности событий R и L, S и T. $p(R)=p(L), p(S)=p(T)$
Решая систему уравнений
$p(S)+n(p(L)+p(R))+p(T)=1$
$(n+1)( p(L)+p(R)) = 1$
Получаем решение $p(P)=p(L)=p(S)=p(T)=1/(2(n+1))$
Где в данных рассуждениях ошибка?

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1190206 писал(а):

Где в данных рассуждениях ошибка?

Везде!
Ну, для приличия неплохо бы значения всех вероятностей увеличить в $n+1$ раз, а то уж как-то совсем мало получается...

[Someone]

vamoroz в сообщении #1190206 писал(а):

Где в данных рассуждениях ошибка?

Вам всего лишь пытались объяснить, что от гвоздика шарик может отскочить в две стороны (налево или направо), а от стенки — только в одну сторону (от левой стенки — всегда направо, от правой — всегда налево). Если считать вероятности отскока от гвоздика налево и направо, то они будут равны $\frac 12$, в то время как вероятность отскока, например, от левой стенки направо равна $1$, а налево — $0$.

Ваши же "вычисления" совершенно бессмысленные.

vamoroz в сообщении #1190206 писал(а):

Удивительно

Да, это очень удивительно, что человек такой простой вещи понять не может.

[Karan]

vamoroz в сообщении #1190206 писал(а):

Где в данных рассуждениях ошибка?

Не обоснована равновероятность событий $p(L)$ и $p(R)$ на разных гвоздиках. Пусть событие $L_{ij}$ - шарик идет влево после столкновения с $i$-м гвоздиком в ряду с четностью $j$. Из соображений симметрии видно, что в нечетном ряду $p(L_{i1}) = p(R_{i1}) = p(R_{n - i, 1}) = p(R_{n - i, 1})$, в четном ряду $p(L_{i0}) = p(R_{i0}) = p(R_{n + 1 - i, 0}) = p(R_{n + 1 - i, 0})$. На каком основании приравниваются вероятности на разных гвоздиках и в разных рядах, непонятно. Наоборот, поначалу средний гвоздик будет выпадать чаще.

-- 06.02.2017, 08:00 --

vamoroz
Вам уже несколько раз в нескольких темах пытались объяснить, что Вы постоянно совершаете одну и ту же ошибку - необоснованно полагаете какие-то множества событий равновероятными, когда в задаче на это никаких указаний нет, но Вы так и остались при своем и снова повторяете эту ошибку.

vamoroz - бан на месяц за агрессивное невежество.

[vamoroz]

На Всероссийский конкурс учебно-исследовательских работ старшеклассников в 2016 году представлена работа ученицы 11 класса Соколовой Д.В. ., в которой, в том числе, рассматривается треугольная вертикальная доска Гальтона, как объект исследования.
Используется вертикальная доска Гальтона с гвоздями, расположенными прямоугольным ромбом. В качестве шаров используется пшено. Расстояние между гвоздями не указано. В своей работе конкурсант приводит статистику распределения в зависимости от угла наклона доски в плоскости падения шаров.