2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 14:24 


24/11/11
57
Я как-то давно обнаружил интересную теорему, которая возможно могла бы быть полезна Фермистам.
Хорошо известна формула разложения разницы степеней:

$z^n-x^n=(z-x)\cdot M^{(n)}$

где через $M^{(n)}$ я обозначил полином $M^{(n)}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-k-1}x^k$.

Утверждается, что для любых взаимно простых $z$ и $x$ и двух взаимно простых чисел $m$ и $n$
числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты.
Известен ли этот факт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 16:47 
Аватара пользователя


22/07/08
867
Одесса
OlegML в сообщении #1155686 писал(а):
числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты

А что такое здесь $M^{(m)}$?
Откуда взялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 19:17 


21/11/10
530
OlegML в сообщении #1155686 писал(а):
Я как-то давно обнаружил интересную теорему, которая возможно могла бы быть полезна Фермистам.
Хорошо известна формула разложения разницы степеней:

Фермисты(Энрико Ферми-итальянский физик теоретик) обитают на форуме по физике твёрдого тела, Вы ошиблись дверью.
А про "разницу степеней" это вы неплохо завернули :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 19:35 
Заслуженный участник


04/05/09
4400
OlegML в сообщении #1155686 писал(а):
Я как-то давно обнаружил интересную теорему, которая возможно могла бы быть полезна Фермистам.
Хорошо известна формула разложения разницы степеней:

$z^n-x^n=(z-x)\cdot M^{(n)}$

где через $M^{(n)}$ я обозначил полином $M^{(n)}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-k-1}x^k$.

Утверждается, что для любых взаимно простых $z$ и $x$ и двух взаимно простых чисел $m$ и $n$
числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты.
Известен ли этот факт?
Первая формула верна только для нечётных $n$.
Мне этот факт не был известен, но доказывается он довольно легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
venco в сообщении #1155778 писал(а):
Первая формула верна только для нечётных $n$.

:shock:
$z^2  - x^2  = (z - x)(z + x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11486
Казань
Лукомор в сообщении #1155737 писал(а):
А что такое здесь $M^{(m)}$?

Видимо, то же, что и $M^{(n)}$, только при другом значении параметра . :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 20:08 
Заслуженный участник


04/05/09
4400
Утундрий в сообщении #1155788 писал(а):
venco в сообщении #1155778 писал(а):
Первая формула верна только для нечётных $n$.

:shock:
$z^2  - x^2  = (z - x)(z + x)$
Ай! Посылаю голову пеплом, с суммой перепутал. :oops:
На доказательство, впрочем, это не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение29.09.2016, 22:35 
Аватара пользователя


10/08/16
102
OlegML в сообщении #1155686 писал(а):
числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты.
Как я понял, речь идёт о численных значениях полиномов $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ от указанных переменных. Если так, то и писать надо соответственно: "числа $M^{(n)}(a,b)$ и $M^{(m)}(a,b)$". Или у Вас многочлены разложились каким-то образом до чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение30.09.2016, 16:18 
Аватара пользователя


22/07/08
867
Одесса
provincialka в сообщении #1155791 писал(а):
Видимо, то же, что и $M^{(n)}$, только при другом значении параметра .

При любом другом?
Не, я не прикалываюсь, мне действительно непонятно, откуда взялась эта $m$?
А, нет, стоп!
Я все понял... кажется...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение04.10.2016, 21:36 


24/11/11
57
Лукомор в сообщении #1155737 писал(а):
А что такое здесь $M^{(m)}$?
Откуда взялось?


Да, надо было сформулировать проще:
Для взаимно простых z и x и взаимно простых m и n числа $\frac{z^m-x^m}{z-x}$ и $\frac{z^n-x^n}{z-x}$ взаимно просты.

Я позже покрутил доказательство и получил следующие утверждения:
1. Аналогично предыдущему числа $x^m+y^m$ и $x^n+y^n$ могут иметь только число $x+y$ в качестве общего множителя.
2. Числа $\frac{z^n-x^n}{z-x}$ и $z+x$ взаимно просты.
3. Аналогично числа $\frac{x^n+y^n}{x+y}$ и $x-y$ взаимно просты ($n>2$).
4. Число $x^2+y^2$ может иметь только 2 в качестве общего множителя с $x-y$ или с $x+y$ .
5. Числа $\frac{z^n-x^n}{z-x}$ и $z-x$ могут иметь только n в качестве общего множителя.
6. Аналогично числа $\frac{x^n+y^n}{x+y}$ и $x+y$ могут иметь только n в качестве общего множителя ($n>2$).

Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение04.10.2016, 22:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15230
Новомосковск
OlegML в сообщении #1157330 писал(а):
Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.
Не слишком широко шагать собираетесь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение04.10.2016, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3529
Швеция
OlegML в сообщении #1157330 писал(а):
Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.

С этими утверждениями (известными почти 200 лет) Вы даже ВТФ3 не докажете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение05.10.2016, 00:06 
Аватара пользователя


10/08/16
102
shwedka в сообщении #1157352 писал(а):
OlegML в сообщении #1157330 писал(а):
Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.
С этими утверждениями (известными почти 200 лет) Вы даже ВТФ3 не докажете.
Похоже на то, если ещё принять во внимание, что само утверждение неверно. Вместо "могут иметь только n в качестве общего [НОД?] множителя" надо было написать - "могут иметь только какой-нибудь делитель n в качестве общего множителя". Первоначальная же формулировка пригодна только для простых n.

-- 05.10.2016, 00:10 --

OlegML в сообщении #1157330 писал(а):
числа $x^m+y^m$ и $x^n+y^n$ могут иметь только число $x+y$ в качестве общего множителя.
Не "могут иметь", а "имеют". Надо выражаться корректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение05.10.2016, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5106
cmpamer в сообщении #1157402 писал(а):
Не "могут иметь", а "имеют".
Да ну? Один из показателей может быть чётным числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная теорема
Сообщение05.10.2016, 01:32 
Аватара пользователя


10/08/16
102
grizzly в сообщении #1157413 писал(а):
cmpamer в сообщении #1157402 писал(а):
Не "могут иметь", а "имеют".
Да ну? Один из показателей может быть чётным числом.
В стартовой записи речь шла о разностях степеней - поэтому при ответе не обратил внимание (по инерции), что речь уже идёт о суммах.
Но и для суммы утверждение не является корректным - необходимо указать, что речь идёт о НОД, а не о всяком делителе (общем множителе). Иначе получается, что нетривиальный общий делитель может иметь место лишь в случае, когда сумма $x+y$ - простое число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group