Интересная теорема

[OlegML]

Я как-то давно обнаружил интересную теорему, которая возможно могла бы быть полезна Фермистам.
Хорошо известна формула разложения разницы степеней:

$z^n-x^n=(z-x)\cdot M^{(n)}$

где через $M^{(n)}$ я обозначил полином $M^{(n)}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-k-1}x^k$.

Утверждается, что для любых взаимно простых $z$ и $x$ и двух взаимно простых чисел $m$ и $n$
числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты.
Известен ли этот факт?

[Лукомор]

OlegML в сообщении #1155686 писал(а):

числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты

А что такое здесь $M^{(m)}$?
Откуда взялось?

[ishhan]

OlegML в сообщении #1155686 писал(а):

Я как-то давно обнаружил интересную теорему, которая возможно могла бы быть полезна Фермистам.
Хорошо известна формула разложения разницы степеней:

Фермисты(Энрико Ферми-итальянский физик теоретик) обитают на форуме по физике твёрдого тела, Вы ошиблись дверью.
А про "разницу степеней" это вы неплохо завернули

[venco]

OlegML в сообщении #1155686 писал(а):

Я как-то давно обнаружил интересную теорему, которая возможно могла бы быть полезна Фермистам.
Хорошо известна формула разложения разницы степеней:

$z^n-x^n=(z-x)\cdot M^{(n)}$

где через $M^{(n)}$ я обозначил полином $M^{(n)}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-k-1}x^k$.

Утверждается, что для любых взаимно простых $z$ и $x$ и двух взаимно простых чисел $m$ и $n$
числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты.
Известен ли этот факт?

Первая формула верна только для нечётных $n$.
Мне этот факт не был известен, но доказывается он довольно легко.

[Утундрий]

venco в сообщении #1155778 писал(а):

Первая формула верна только для нечётных $n$.

$z^2 - x^2 = (z - x)(z + x)$

[provincialka]

Лукомор в сообщении #1155737 писал(а):

А что такое здесь $M^{(m)}$?

Видимо, то же, что и $M^{(n)}$, только при другом значении параметра .

[venco]

Утундрий в сообщении #1155788 писал(а):

venco в сообщении #1155778 писал(а):

Первая формула верна только для нечётных $n$.

$z^2 - x^2 = (z - x)(z + x)$

Ай! Посылаю голову пеплом, с суммой перепутал.
На доказательство, впрочем, это не влияет.

[cmpamer]

OlegML в сообщении #1155686 писал(а):

числа $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ взаимно просты.

Как я понял, речь идёт о численных значениях полиномов $M^{(n)}$ и $M^{(m)}$ от указанных переменных. Если так, то и писать надо соответственно: "числа $M^{(n)}(a,b)$ и $M^{(m)}(a,b)$". Или у Вас многочлены разложились каким-то образом до чисел?

[Лукомор]

provincialka в сообщении #1155791 писал(а):

Видимо, то же, что и $M^{(n)}$, только при другом значении параметра .

При любом другом?
Не, я не прикалываюсь, мне действительно непонятно, откуда взялась эта $m$?
А, нет, стоп!
Я все понял... кажется...

[OlegML]

Лукомор в сообщении #1155737 писал(а):

А что такое здесь $M^{(m)}$?
Откуда взялось?

Да, надо было сформулировать проще:
Для взаимно простых z и x и взаимно простых m и n числа $\frac{z^m-x^m}{z-x}$ и $\frac{z^n-x^n}{z-x}$ взаимно просты.

Я позже покрутил доказательство и получил следующие утверждения:
1. Аналогично предыдущему числа $x^m+y^m$ и $x^n+y^n$ могут иметь только число $x+y$ в качестве общего множителя.
2. Числа $\frac{z^n-x^n}{z-x}$ и $z+x$ взаимно просты.
3. Аналогично числа $\frac{x^n+y^n}{x+y}$ и $x-y$ взаимно просты ($n>2$).
4. Число $x^2+y^2$ может иметь только 2 в качестве общего множителя с $x-y$ или с $x+y$ .
5. Числа $\frac{z^n-x^n}{z-x}$ и $z-x$ могут иметь только n в качестве общего множителя.
6. Аналогично числа $\frac{x^n+y^n}{x+y}$ и $x+y$ могут иметь только n в качестве общего множителя ($n>2$).

Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.

[Someone]

OlegML в сообщении #1157330 писал(а):

Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.

Не слишком широко шагать собираетесь?

[shwedka]

OlegML в сообщении #1157330 писал(а):

Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.

С этими утверждениями (известными почти 200 лет) Вы даже ВТФ3 не докажете.

[cmpamer]

shwedka в сообщении #1157352 писал(а):

OlegML в сообщении #1157330 писал(а):

Кажется от утверждений 5 и 6 до доказательства ВТФ пара шагов.

С этими утверждениями (известными почти 200 лет) Вы даже ВТФ3 не докажете.

Похоже на то, если ещё принять во внимание, что само утверждение неверно. Вместо "могут иметь только n в качестве общего [НОД?] множителя" надо было написать - "могут иметь только какой-нибудь делитель n в качестве общего множителя". Первоначальная же формулировка пригодна только для простых n.

-- 05.10.2016, 00:10 --

OlegML в сообщении #1157330 писал(а):

числа $x^m+y^m$ и $x^n+y^n$ могут иметь только число $x+y$ в качестве общего множителя.

Не "могут иметь", а "имеют". Надо выражаться корректно.

[grizzly]

cmpamer в сообщении #1157402 писал(а):

Не "могут иметь", а "имеют".

Да ну? Один из показателей может быть чётным числом.

[cmpamer]

grizzly в сообщении #1157413 писал(а):

cmpamer в сообщении #1157402 писал(а):

Не "могут иметь", а "имеют".

Да ну? Один из показателей может быть чётным числом.

В стартовой записи речь шла о разностях степеней - поэтому при ответе не обратил внимание (по инерции), что речь уже идёт о суммах.
Но и для суммы утверждение не является корректным - необходимо указать, что речь идёт о НОД, а не о всяком делителе (общем множителе). Иначе получается, что нетривиальный общий делитель может иметь место лишь в случае, когда сумма $x+y$ - простое число.