Разные задачи про площадь треугольника

[Vitalius]

Красивое доказательство, Gris. Что касается того как получаю эти формулы, пусть пока оставим данный вопрос без ответа . Другой раз скажу.

А так, тот последний результат про отношения высот и сторон треугольника ведёт к следующему утверждению:

Пусть $k$ положительное рациональное число. Тогда существуют треугольники с рациональными сторонами $a$, $b$ и $c$, для которых высоты тоже рациональные и равны либо:

$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{k},\ h_c=\frac{kc}{k^2+1},$

либо:

$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{2k},\ h_c=\frac{kc}{2k(k+1)+1}.$

Выбор числа $k$, для каждого из этих двух случаях ограничен только требованием существования треугольника со сторонами $S_p/h_a$, $S_p/h_b$ и $S_p/h_c$, где $S_p$ - площадь произвольной фигуры.

[Vitalius]

Пусть $a$, $b$, $c$, $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно стороны и медианы произвольного треугольника, а:

$m_1\equiv\frac{m_a^2}{a^2}+\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_c^2}{c^2},$
$m_2\equiv\frac{m_a^2}{a^2}\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_a^2}{a^2}\frac{m_c^2}{c^2}+\frac{m_b^2}{b^2}\frac{m_c^2}{c^2},$
$m_3\equiv\frac{m_a^2}{a^2}\frac{m_b^2}{b^2}\frac{m_c^2}{c^2}.$

Докажите, что:

$729P^8-3888m_1P^6+2592\left(3 m_1^2-4 m_2\right)P^4+$
$+256\left(37 m_1^3-180 m_1 m_2+432 m_3\right)P^2+$
$+2304\left(m_1^2-4 m_2\right)^2=0,$

где $P$-периметр треугольника.

[gris]

А вот тут неоднородность пожаловала. И Ваше же сомнение в преобладании старшей степени заработает. Возьмём равносторонний треугольник и станем раздувать его. Все $m$ останутся инвариантами, а $P$ станет расти. И при достаточно большом размере первое слагаемое забьёт остальные.

[sa233091]

Интересная идея

[Vitalius]

gris в сообщении #1155870 писал(а):

А вот тут неоднородность пожаловала. И Ваше же сомнение в преобладании старшей степени заработает. Возьмём равносторонний треугольник и станем раздувать его. Все $m$ останутся инвариантами, а $P$ станет расти. И при достаточно большом размере первое слагаемое забьёт остальные.

Да Gris, действительно - теперь моё старое сомнение действительно имеет место. А я не заметил. Однако способ получения данного полинома настолько простой в качестве иллюстрации использованного мною метода с применением базисами Грёбнера в геометрии треугольника, что я выполнил его напрямую, а потом скопировал старые симметрические многочлены. Отсюда и та ошибка получилась. Извиняюсь! Сейчас попробовал исправить полученную ошибку в оформлением результата, но корректировка предыдущего поста увы - уже невозможна. Вот что имел ввиду:

Пусть $a$, $b$, $c$, $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно стороны и медианы произвольного треугольника, а:

$m_1\equiv m_a^2+m_b^2+m_c^2,$

$m_2\equiv m_a^2m_b^2}+m_a^2m_c^2+m_b^2m_c^2,$

$m_3\equiv m_a^2m_b^2m_c^2.$

Докажите, что:

$729P^8-3888m_1P^6+2592\left(3 m_1^2-4 m_2\right)P^4+$
$+256\left(37 m_1^3-180 m_1 m_2+432 m_3\right)P^2+$
$+2304\left(m_1^2-4 m_2\right)^2=0,$

где $P$-периметр треугольника.

[Vitalius]

Для полноты надо дать и формулу для периметра треугольника через радиусов внешне вписанных окружностей, хотя она доказывается легко.

Пусть $P$ периметр произвольного треугольника в котором радиусы внешне вписанных окружностей $r_a$, $r_b$ и $r_c$.

Докажите, что:

$P=2\sqrt{r_ar_b+r_ar_c+r_br_c}.$

[gris]

Это очень красиво. Хотя довольно просто получается сложением трёх формул и вынесением полупериметра за скобку. И опять таки Герон

[Vitalius]

Следующая в очереди должна быть формула для периметра треугольника через его высот.

Пусть $P$ периметр произвольного треугольника с высотами $h_a$, $h_b$ и $h_c$, а:

$\frac{1}{u}\equiv\frac{1}{2}\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right).$

Докажите, что:

$P=\frac{1}{\sqrt{u\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{h_a}\right)\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{h_b}\right)\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{h_c}\right)}}.$

Gris, как думаете, каково должно быть самое простое доказательство в этом случае?

[gris]

Ну тут внизу явная формула Герона для некоторого треугольника . Осталось занести в корень коэффициент подобия в квадрате.

[scwec]

Что касается полинома 8-й степени. Разлагая на множители свободный член полинома и предшествующую ему часть:
свободный член=$729((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))^2$,
предшествующая часть=$-729((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))^2$.
В сумме нуль.
А вот с этим

Vitalius в сообщении #1155590 писал(а):

Пусть $k$ положительное рациональное число. Тогда существуют треугольники с рациональными сторонами $a$, $b$ и $c$, для которых высоты тоже рациональные и равны либо:
$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{k},\ h_c=\frac{kc}{k^2+1},$
либо:
$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{2k},\ h_c=\frac{kc}{2k(k+1)+1}.$
Выбор числа $k$, для каждого из этих двух случаях ограничен только требованием существования треугольника со сторонами $S_p/h_a$, $S_p/h_b$ и $S_p/h_c$, где $S_p$ - площадь произвольной фигуры.

что-то не то. Во втором случае корень квадратный из 2 - рациональное число.

[Vitalius]

Scwec, если в тождество:

$4\frac{h_a^2}{a^2}\frac{h_b^2}{b^2}\frac{h_c^2}{c^2}+\left(\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}+\frac{h_a}{a}\frac{h_c}{c}+\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\right)^{2}-4\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\left(\frac{h_a}{a}+\frac{h_b}{b}+\frac{h_c}{c}\right)=0,$

сдеалем замену:

$\frac{h_a}{a}=k,\ \frac{h_b}{b}=\frac{1}{s k},\ \frac{h_c}{c}=\frac{k}{sk (k+s-1)+1},$

то получим:

$\frac{k^2 (s-1) (s-2) \left(s^2+s+2\right)}{\left[k s^3+(k-1) k s^2+s\right]^2}.$

Очевидно если $s=1$ и/или $s=2$, то получаем опять выражение, которое тождественно равно нулю, ибо в первом случае знаменатель будет $\left(k^2+1\right)^2$, а во втором $4\left[2 k ( k+1)+1\right]^2$, т.е. по любому будет не равен нулю для $k>0$. Но в таком случае если положительное число $k$ и стороны треугольника рациональные, то и высоты тоже должны быть рациональные. Конечно надо потребовать ещё и выполнение неравенств треугольника для сторонах и обратных высот, которые ведут к ограничением для $k$ когда изначально выбираем подходящих рациональных сторон треугольника.

[scwec]

Имелось в виду, что из формул, приведенных вами, а именно: $h_a=ka$ и $h_b=\dfrac{b}{2k}$ следует, что $\sqrt{2}=\dfrac{b}{ak}$, чего, понятно, быть не может.
А разборки с заменами это уж ваше дело.

[Vitalius]

Да блин, я смотрел относительно положительных $h_a/a$, $h_b/b$ и $h_c/c$ рациональные корни уравнения:

$4\frac{h_a^2}{a^2}\frac{h_b^2}{b^2}\frac{h_c^2}{c^2}+\left(\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}+\frac{h_a}{a}\frac{h_c}{c}+\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\right)^{2}-4\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\left(\frac{h_a}{a}+\frac{h_b}{b}+\frac{h_c}{c}\right)=0.$ (1)

И нашёл два представления о них с рациональными $k$, $a$, $b$ и $c$. Однако забыл, что эти положительные рациональные корни должны быть такими, что:

$ah_a=bh_b=ch_c.$ (2)

А это в первом случае будет выполнятся когда:

$ka^2=\frac{b^2}{k}=\frac{kc^2}{k^2+1}.$ (3)

Во втором случае соответственно должно быть:

$ka^2=\frac{b^2}{2k}=\frac{kc^2}{2k(k+1)+1}.$ (4)

Scwec правильно отметил один случай где (2) влечёт за собой требованием об иррациональности $k$ при рациональных $a$ и $b$. Но он не только один и это видно если в (3) и (4) рассмотрим равенство между $ch_c$ и $ah_a$ при рациональных $a$ и $c$. Так, что жаль - хотя рациональные решения (1) ясны, то это не помогает найти треугольники с рациональными сторонами и высотами.

[gris]

Интересный факт: если стороны треугольника рациональны, то его высоты либо все рациональны, либо все иррациональны.

[scwec]

Замечу также, что в треугольнике с рациональными длинами сторон и рациональными высотами
отношение длин стороны и соответствующей высоты не может быть произвольным.
Так, если обозначить $\dfrac{a}{h_a}=N$, то ранг эллиптической кривой $y^2=x^3+(N^2+2)x^2+x$ должен быть больше нуля.
Для целых $N$ это условие образует последовательность $N=5,6,8,9,13,14,15,17,18,19,20,...$.
Таким образом, в рациональном треугольнике с рациональной площадью высота не может равняться стороне, на которую она опущена,
длина стороны не может быть больше высоты в 2,3,4,7,10,11,12 и т.д. раз...
gris. здесь уже начало "игры в биcер".