2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 16:14 


02/08/12
138
Ну да - давать какие-то твердения о связи крив 3 степени с рациональсти сторон треугольника без всяких обосновок и объясненений, абсолютно бесполезно. Или иначе говоря - настоящия игра в пустяки, бирюльки и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 17:09 
Заслуженный участник


17/09/10
1708
gris, (вам это предназначалось) конечно, я имел в виду "Das Glasperlenspiel" (игру в бисер). Мы с вами об этом уже раньше на форуме говорили.
А бирюльки, ну что же, видимо, думал о них, вот и вырвалось (бирюльки исправил на бисер).
Для информации - "Das Glasperlenspiel" - книга Нобелевского лауреата по литературе Германа Гессе.
Так что трактовать мое высказывание нужно как "здесь уже начало более серьезных вещей".

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 19:54 


02/08/12
138
gris в сообщении #1156451 писал(а):
Интересный факт: если стороны треугольника рациональны, то его высоты либо все рациональны, либо все иррациональны.


Gris , дял отношения радиусов $r_a$, $r_b$ и $r_c$ получилось того же тождество. Надо рассмотреть к чему ведет та же самая формула для рац. корней уравнения когда речь идет о радиусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13264
scwec, при Вас я не решусь даже произносить слова типа эллиптических кривых, а вставить тоже что-нибудь хочется, да так, чтобы было нечто иррациональное. Вот и оклавил первое попавшееся.
Vitalis, Попробую ещё возвести какое-нибудь равенство в шестнадцатую степень, а при этом рассматривать визуализацию Шагала под сонату Шёнберга с томиком Шопенгауэра под мышкой. И пытаясь разобрать scwec-тему. Надеюсь вставит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 21:01 
Заслуженный участник


17/09/10
1708
gris, Вы, как всегда, на высоте.
Да и старая дружба не ржавеет.
С разрешения ТС задам элементарный (но не простой) вопрос для всех по теме о площади треугольника.
Докажите, что для любого рационального $Q>0$, найдется треугольник с рациональными длинами сторон такой,
что площадь его равна $\sqrt{Q}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение28.10.2016, 23:36 


02/08/12
138
Пусть $a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $l_a$, $l_b$ и $l_c$ соответственно стороны, углы и биссектрисы в произвольном треугольнике. Докажите, что:

$\frac{l_a}{a\cos\frac{\alpha}{2}}\ \frac{l_b}{b\cos\frac{\beta}{2}}\ \frac{l_c}{c\cos\frac{\gamma}{2}}+
\frac{l_a}{a\cos\frac{\alpha}{2}}\ \frac{l_b}{b\cos\frac{\beta}{2}}+
\frac{l_a}{a\cos\frac{\alpha}{2}}\ \frac{l_c}{c\cos\frac{\gamma}{2}}+
\frac{l_b}{b\cos\frac{\beta}{2}}\ \frac{l_c}{c\cos\frac{\gamma}{2}}=4. $

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение29.10.2016, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13264
Красивая формула. Ну сразу избавляемся от биссектрис и косинусов. Остаются только стороны. Проверяем на всякий случай для равностороннего треугольника. Работает. А дальше нудно домножаем и раскрываем скобки. Я верю, что получится. Опять таки доказательство несложно, но как Вы получили эту формулу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение30.10.2016, 20:44 


02/08/12
138
Gris, слишком громозкий способ доказательства решили принять. Есть конечно иной метод и я его использую везде в данном топике. Могу рассказать о нем, однако сейчас пишу из телефона и мне не очень удобно объяснять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение20.10.2017, 00:20 


02/08/12
138
Пусть $h_a$, $h_b$, $h_c$, $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно высоты и медианы произвольного треугольника.

Докажите, что:

$\frac{m_a^4}{h_a^4}+\frac{m_b^4}{h_b^4}+\frac{m_c^4}{h_c^4}-2\left(\frac{m_a^2}{h_a^2}\frac{m_b^2}{h_b^2}+\frac{m_a^2}{h_a^2}\frac{m_c^2}{h_c^2}+\frac{m_b^2}{h_b^2}\frac{m_c^2}{h_c^2}\right)+2\left(\frac{m_a^2}{h_a^2}+\frac{m_b^2}{h_b^2}+\frac{m_c^2}{h_c^2}\right)=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение05.11.2017, 22:32 


02/08/12
138
Пусть дан произвольный $\triangle ABC$, стороны которого продолжены так, что напротив каждой его вершине построен равнобедренный треугольник с бедрами $x$ и углы между ними соответственно $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые равны углов $\triangle ABC$. Если площади этих равнобедренных треугольников $S_{\alpha}$, $S_{\beta}$ и $S_{\gamma}$, то докажите, что:

$16\frac{S^{2}_{\alpha}}{x^{4}}\frac{S^{2}_{\beta}}{x^{4}}\frac{S^{2}_{\gamma}}{x^{4}}+\frac{S^{4}_{\alpha}}{x^{8}}+\frac{S^{4}_{\beta}}{x^{8}}+\frac{S^{4}_{\gamma}}{x^{8}}=2\left(\frac{S^{2}_{\alpha}}{x^{4}}\frac{S^{2}_{\beta}}{x^{4}}+\frac{S^{2}_{\alpha}}{x^{4}}\frac{S^{2}_{\gamma}}{x^{4}}+\frac{S^{2}_{\beta}}{x^{4}}\frac{S^{2}_{\gamma}}{x^{4}}\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение06.11.2017, 01:10 


02/08/12
138
Пусть дан произвольный $\triangle ABC$, стороны которого продолжены так, что напротив каждой его вершине построен равнобедренный треугольник с бедрами $x$ и углы между ними соответственно $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые равны углов $\triangle ABC$. Если периметры этих равнобедренных треугольников $P_{\alpha}$, $P_{\beta}$ и $P_{\gamma}$, то докажите, что:

$\ \left[\frac{P_{\alpha}}{x}\frac{P_{\beta}}{x}\frac{P_{\gamma}}{x}-4\left(\frac{P_{\alpha}}{x}\frac{P_{\beta}}{x}+\frac{P_{\alpha}}{x}\frac{P_{\gamma}}{x}+\frac{P_{\beta}}{x}\frac{P_{\gamma}}{x}\right)+\left(\frac{P_{\alpha}}{x}+\frac{P_{\beta}}{x}+\frac{P_{\gamma}}{x}\right)^{2}\right]\cdot$

$\cdot\left[\frac{P_{\alpha}}{x}\frac{P_{\beta}}{x}\frac{P_{\gamma}}{x}-\left(\frac{P_{\alpha}}{x}+\frac{P_{\beta}}{x}+\frac{P_{\gamma}}{x}\right)\left(\frac{P_{\alpha}}{x}+\frac{P_{\beta}}{x}+\frac{P_{\gamma}}{x}-8\right)-16\right]=0$.

-- 06.11.2017, 01:04 --

Пусть дан произвольный $\triangle ABC$, стороны которого продолжены так, что напротив каждой его вершине построен равнобедренный треугольник с бедрами $x$ и углы между ними соответственно $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, которые равны углов $\triangle ABC$. Если основания этих равнобедренных треугольников $d_{\alpha}$, $d_{\beta}$ и $d_{\gamma}$, то докажите, что:

$\left(\frac{d_{\alpha}}{x}\frac{d_{\beta}}{x}\frac{d_{\gamma}}{x}-\frac{d^{2}_{\alpha}}{x^{2}}-\frac{d^{2}_{\beta}}{x^{2}}-\frac{d^{2}_{\gamma}}{x^{2}}+4\right)\left(\frac{d_{\alpha}}{x}\frac{d_{\beta}}{x}\frac{d_{\gamma}}{x}+\frac{d^{2}_{\alpha}}{x^{2}}+\frac{d^{2}_{\beta}}{x^{2}}+\frac{d^{2}_{\gamma}}{x^{2}}-4\right)=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group