2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение29.09.2016, 01:19 


02/08/12
138
Красивое доказательство, Gris. Что касается того как получаю эти формулы, пусть пока оставим данный вопрос без ответа :wink: . Другой раз скажу.

А так, тот последний результат про отношения высот и сторон треугольника ведёт к следующему утверждению:

Пусть $k$ положительное рациональное число. Тогда существуют треугольники с рациональными сторонами $a$, $b$ и $c$, для которых высоты тоже рациональные и равны либо:

$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{k},\ h_c=\frac{kc}{k^2+1},$

либо:

$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{2k},\ h_c=\frac{kc}{2k(k+1)+1}.$

Выбор числа $k$, для каждого из этих двух случаях ограничен только требованием существования треугольника со сторонами $S_p/h_a$, $S_p/h_b$ и $S_p/h_c$, где $S_p$ - площадь произвольной фигуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение29.09.2016, 22:28 


02/08/12
138
Пусть $a$, $b$, $c$, $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно стороны и медианы произвольного треугольника, а:

$m_1\equiv\frac{m_a^2}{a^2}+\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_c^2}{c^2},$
$m_2\equiv\frac{m_a^2}{a^2}\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_a^2}{a^2}\frac{m_c^2}{c^2}+\frac{m_b^2}{b^2}\frac{m_c^2}{c^2},$
$m_3\equiv\frac{m_a^2}{a^2}\frac{m_b^2}{b^2}\frac{m_c^2}{c^2}.$

Докажите, что:

$729P^8-3888m_1P^6+2592\left(3 m_1^2-4 m_2\right)P^4+$
$+256\left(37 m_1^3-180 m_1 m_2+432 m_3\right)P^2+$
$+2304\left(m_1^2-4 m_2\right)^2=0,$

где $P$-периметр треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение29.09.2016, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13000
А вот тут неоднородность пожаловала. И Ваше же сомнение в преобладании старшей степени заработает. Возьмём равносторонний треугольник и станем раздувать его. Все $m$ останутся инвариантами, а $P$ станет расти. И при достаточно большом размере первое слагаемое забьёт остальные. :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение29.09.2016, 22:56 


11/08/16
172
Интересная идея

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение29.09.2016, 23:29 


02/08/12
138
gris в сообщении #1155870 писал(а):
А вот тут неоднородность пожаловала. И Ваше же сомнение в преобладании старшей степени заработает. Возьмём равносторонний треугольник и станем раздувать его. Все $m$ останутся инвариантами, а $P$ станет расти. И при достаточно большом размере первое слагаемое забьёт остальные. :?:


Да Gris, действительно - теперь моё старое сомнение действительно имеет место. А я не заметил. Однако способ получения данного полинома настолько простой в качестве иллюстрации использованного мною метода с применением базисами Грёбнера в геометрии треугольника, что я выполнил его напрямую, а потом скопировал старые симметрические многочлены. Отсюда и та ошибка получилась. Извиняюсь! Сейчас попробовал исправить полученную ошибку в оформлением результата, но корректировка предыдущего поста увы - уже невозможна. Вот что имел ввиду:

Пусть $a$, $b$, $c$, $m_a$, $m_b$ и $m_c$ соответственно стороны и медианы произвольного треугольника, а:

$m_1\equiv m_a^2+m_b^2+m_c^2,$

$m_2\equiv m_a^2m_b^2}+m_a^2m_c^2+m_b^2m_c^2,$

$m_3\equiv m_a^2m_b^2m_c^2.$

Докажите, что:

$729P^8-3888m_1P^6+2592\left(3 m_1^2-4 m_2\right)P^4+$
$+256\left(37 m_1^3-180 m_1 m_2+432 m_3\right)P^2+$
$+2304\left(m_1^2-4 m_2\right)^2=0,$

где $P$-периметр треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение30.09.2016, 20:42 


02/08/12
138
Для полноты надо дать и формулу для периметра треугольника через радиусов внешне вписанных окружностей, хотя она доказывается легко.

Пусть $P$ периметр произвольного треугольника в котором радиусы внешне вписанных окружностей $r_a$, $r_b$ и $r_c$.

Докажите, что:

$P=2\sqrt{r_ar_b+r_ar_c+r_br_c}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение30.09.2016, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13000
Это очень красиво. Хотя довольно просто получается сложением трёх формул и вынесением полупериметра за скобку. И опять таки Герон :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение01.10.2016, 00:16 


02/08/12
138
Следующая в очереди должна быть формула для периметра треугольника через его высот.

Пусть $P$ периметр произвольного треугольника с высотами $h_a$, $h_b$ и $h_c$, а:

$\frac{1}{u}\equiv\frac{1}{2}\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right).$

Докажите, что:

$P=\frac{1}{\sqrt{u\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{h_a}\right)\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{h_b}\right)\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{h_c}\right)}}.$

Gris, как думаете, каково должно быть самое простое доказательство в этом случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение01.10.2016, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13000
Ну тут внизу явная формула Герона для некоторого треугольника :-) . Осталось занести в корень коэффициент подобия в квадрате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение01.10.2016, 12:20 
Заслуженный участник


17/09/10
1639
Что касается полинома 8-й степени. Разлагая на множители свободный член полинома и предшествующую ему часть:
свободный член=$729((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))^2$,
предшествующая часть=$-729((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))^2$.
В сумме нуль.
А вот с этим
Vitalius в сообщении #1155590 писал(а):
Пусть $k$ положительное рациональное число. Тогда существуют треугольники с рациональными сторонами $a$, $b$ и $c$, для которых высоты тоже рациональные и равны либо:
$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{k},\ h_c=\frac{kc}{k^2+1},$
либо:
$h_a=ka,\ h_b=\frac{b}{2k},\ h_c=\frac{kc}{2k(k+1)+1}.$
Выбор числа $k$, для каждого из этих двух случаях ограничен только требованием существования треугольника со сторонами $S_p/h_a$, $S_p/h_b$ и $S_p/h_c$, где $S_p$ - площадь произвольной фигуры.

что-то не то. Во втором случае корень квадратный из 2 - рациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение01.10.2016, 22:29 


02/08/12
138
Scwec, если в тождество:

$4\frac{h_a^2}{a^2}\frac{h_b^2}{b^2}\frac{h_c^2}{c^2}+\left(\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}+\frac{h_a}{a}\frac{h_c}{c}+\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\right)^{2}-4\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\left(\frac{h_a}{a}+\frac{h_b}{b}+\frac{h_c}{c}\right)=0,$

сдеалем замену:

$\frac{h_a}{a}=k,\ \frac{h_b}{b}=\frac{1}{s k},\ \frac{h_c}{c}=\frac{k}{sk (k+s-1)+1},$

то получим:

$\frac{k^2 (s-1) (s-2) \left(s^2+s+2\right)}{\left[k s^3+(k-1) k s^2+s\right]^2}.$

Очевидно если $s=1$ и/или $s=2$, то получаем опять выражение, которое тождественно равно нулю, ибо в первом случае знаменатель будет $\left(k^2+1\right)^2$, а во втором $4\left[2 k ( k+1)+1\right]^2$, т.е. по любому будет не равен нулю для $k>0$. Но в таком случае если положительное число $k$ и стороны треугольника рациональные, то и высоты тоже должны быть рациональные. Конечно надо потребовать ещё и выполнение неравенств треугольника для сторонах и обратных высот, которые ведут к ограничением для $k$ когда изначально выбираем подходящих рациональных сторон треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение01.10.2016, 22:54 
Заслуженный участник


17/09/10
1639
Имелось в виду, что из формул, приведенных вами, а именно: $h_a=ka$ и $h_b=\dfrac{b}{2k}$ следует, что $\sqrt{2}=\dfrac{b}{ak}$, чего, понятно, быть не может.
А разборки с заменами это уж ваше дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 01:37 


02/08/12
138
Да блин, я смотрел относительно положительных $h_a/a$, $h_b/b$ и $h_c/c$ рациональные корни уравнения:

$4\frac{h_a^2}{a^2}\frac{h_b^2}{b^2}\frac{h_c^2}{c^2}+\left(\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}+\frac{h_a}{a}\frac{h_c}{c}+\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\right)^{2}-4\frac{h_a}{a}\frac{h_b}{b}\frac{h_c}{c}\left(\frac{h_a}{a}+\frac{h_b}{b}+\frac{h_c}{c}\right)=0.$ (1)

И нашёл два представления о них с рациональными $k$, $a$, $b$ и $c$. Однако забыл, что эти положительные рациональные корни должны быть такими, что:

$ah_a=bh_b=ch_c.$ (2)

А это в первом случае будет выполнятся когда:

$ka^2=\frac{b^2}{k}=\frac{kc^2}{k^2+1}.$ (3)

Во втором случае соответственно должно быть:

$ka^2=\frac{b^2}{2k}=\frac{kc^2}{2k(k+1)+1}.$ (4)

Scwec правильно отметил один случай где (2) влечёт за собой требованием об иррациональности $k$ при рациональных $a$ и $b$. Но он не только один и это видно если в (3) и (4) рассмотрим равенство между $ch_c$ и $ah_a$ при рациональных $a$ и $c$. Так, что жаль - хотя рациональные решения (1) ясны, то это не помогает найти треугольники с рациональными сторонами и высотами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13000
Интересный факт: если стороны треугольника рациональны, то его высоты либо все рациональны, либо все иррациональны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные задачи про площадь треугольника
Сообщение02.10.2016, 13:19 
Заслуженный участник


17/09/10
1639
Замечу также, что в треугольнике с рациональными длинами сторон и рациональными высотами
отношение длин стороны и соответствующей высоты не может быть произвольным.
Так, если обозначить $\dfrac{a}{h_a}=N$, то ранг эллиптической кривой $y^2=x^3+(N^2+2)x^2+x$ должен быть больше нуля.
Для целых $N$ это условие образует последовательность $N=5,6,8,9,13,14,15,17,18,19,20,...$.
Таким образом, в рациональном треугольнике с рациональной площадью высота не может равняться стороне, на которую она опущена,
длина стороны не может быть больше высоты в 2,3,4,7,10,11,12 и т.д. раз...
gris. здесь уже начало "игры в биcер".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group