Чудесное доказательство

[ishhan]

lasta в сообщении #1153122 писал(а):

Рассмотрим числовой пример. Для случая когда ВТФ не верна на кубах это показать нельзя. Покажем на квадратах.

Уважаемый lasta!
А почему бы не показать это на первых степенях.
Возьмём составное число, что бы далеко не ходить возьмём число 15 и представим его на манер тождества

$$15=3\cdot5=3+(15-3)=6+(15-6)=9+(15-9)=12+(15-12)$$

Разве это все способы представления 15 в виде суммы двух натуральных чисел?
Ради бога, не надо больше ходить по кругу, а то боженька накажет

[lasta]

yk2ru в сообщении #1153136 писал(а):

В книге Серпинского "О решении уравнений в целых числах" даны все решения уравнения
$x^3 + y^3 = z^3 + w^3$
Так как решения даны все, то пусть ТС попробует сложить левую или правую части равенства из полученных там выражений для четырех чисел $x, y, z, w$ и в результате получить куб.

Спасибо yk2ru!
Вы это заметили. Я ждал вопроса, что представление одним и тем же составным кубом двух разных сумм кубов требует обоснования.
Действительно, то что существует решение в взаимно-простых числах не обязывает существованию решения с общим делителем. Об этом заявлял уважаемый заслуженный участник $\text {\color{blue}venco}$.
Вопрос решен в теме изначально.

lasta в сообщении #1151501 писал(а):

Для произвольного составного куба $N^3=N_1^3N_2^3$ составим тождество

$$N_1^3N_2^3 =N_1^3 t_2^3+ N_1^3( N_2^3-t_2^3), \qquad \e (1) $$

где $(N_1,N_2,\quad1<t_2<N_2)$ натуральные числa. Сократим общий делитель $N_1^3$. Получим тождество в взаимно простых числах

$$ N_2^3 = t_2^3+ ( N_2^3-t_2^3 ),\qquad \e (2) $$

которое, в связи с произвольностью $N_2^3$ и куба $t_2^3$ в указанном интервале, охватывает все возможные случаи для натуральных чисел $(N_2,t_2)$.
Если ВТФ не верна, то есть существует решение уравнения Ферма в натуральных числах, то для некоторых $ (N_2, t_2)$ правая часть (2) может быть представлена суммой двух кубов

$(t_2^3; \quad (N_2^3-t_2^3))$. Оба куба рассматриваем как числа. Например:- для случая, когда она верна

$$5^3+(7^3-5^3)=5^3+217.$$

Но

Как видите в теме и не рассматривалось одновременное равенство составного куба двум разным суммам кубов. Хотя это возможно, как частный случай, и на квадратах это показана.
Идея доказательства такая.
Если в бесконечном интервале кубов натуральных чисел рассматривать кубы по ходу их убывания в предположении, что
ВТФ не верна, то первым будет решение с общим делителем, потому, что оно всегда будет больше любого решения с взаимно простыми числами, так как предшествует им.
Путем постоянного возврата к исходному кубу, было показано, что число делителей исходного куба увеличивается. Но один маленький нюанс был разъяснен кратко, предполагалось, что этого достаточно.
Подробные обоснования неясных моментов подготавливаются.

ishhan в сообщении #1153157 писал(а):

Возьмём составное число, что бы далеко не ходить возьмём число 15 и представим его на манер тождества

$$15=3\cdot5=3+(15-3)=6+(15-6)=9+(15-9)=12+(15-12)$$

Разве это все способы представления 15 в виде суммы двух натуральных чисел?

Уважаемый ishhan!
В таком виде, - нет. Но, если вы будете представлять тождества на сомножителях

$$3\cdot5=3d+3(5-d)\quad 1<d<5,$$

то здесь представите все возможные случаи после сокращения на 3. При сокращении на 5 аналогичное рассуждение, то есть, если вернуться к кубам, то мы будем рассматривать все возможные случаи для тождества в взаимно простых числах.
Ваш вопрос можно будет снять с рассмотрения, так как в новом подготавливаемом тексте более подробно будет показан бесконечный спуск на решениях, имеющих общий делитель, что всегда и являлось основной идеей темы. .
Это совместно с использованием простейших тождеств, считаю не стереотипным подходом в теме. Иначе, все было бы давно рассмотрено. О чем Вы мне неоднократно заявляли.
Я иногда гадаю , что имел в виду Пьер де Ферма в письме к Каркави, где он, рассуждая о сложностях создания тех или иных методов бесконечного спуска, намекнул о возвратных повторениях логических рассуждений..

[shwedka]

lasta в сообщении #1153246 писал(а):

Если в бесконечном интервале кубов натуральных чисел рассматривать кубы по ходу их убывания в предположении, что
ВТФ не верна, то первым будет решение с общим делителем,

Безграмотность! В 'бесконечном интервале' может оказаться бесконечно много решний, поэтому 'первого' среди них может не быть.
Вы же отказались от заявления, что Вы можете доказать конечность множества взаимно простых решений.
Я пишу 'может оказаться' в том смысле, что Вы бездоказательно предполагаете противное.

И я требовала уже прекратить безграмотное употребление выражения типа 'ВТФ верна (неверна) в интервале' или 'втф верна для таких-то чисел.'
Правильно: Уравнение Ферма степени 3 (УФ3, если угодно,) имеет решение (для большего числа) в интервале. Или УФ3 разрешимо (неразрешимо), выполнено (не выполнено) для таких-то чисел.
Правильное словоупотребление избавит, хотя бы, от части, логических ошибок.

[lasta]

shwedka в сообщении #1153306 писал(а):

Правильное словоупотребление избавит, хотя бы, от части, логических ошибок.

Уважаемая shwedka!
Грешен, каюсь. Буду внимательнее.

venco в сообщении #1151711 писал(а):

Давайте ещё раз: почему $N_2^3-t_2^3$ должно быть кубом, если ВТФ не верна?
Напомню, "ВТФ не верна" значит: существуют взаимно простые натуральные $(N,a,b)$ удовлетворяющие равенству $N^3=a^3+b^3$.

Уважаемый venco!
Если Уравнение Ферма степени 3 (далее УФ3) имеет решение в бесконечном интервале кубов, то для как угодно больших взаимно простых чисел тройки решения УФ3, будет существовать решения с общим делителем с еще большими числами, Поэтому рассматривается основной вариант бесконечного спуска для решений, имеющих общий делитель.
Если доказывается, что таких решений нет, то нет решений с взаимно простыми кубами.

venco в сообщении #1151701 писал(а):

Проблема в том, что $N_1$ не равно 1, поэтому полный перебор $t_2$ не покрывает все возможные кубы, а только те, что делятся на $N_1^3$.
Ещё раз: в вашем переборе основание первого куба всегда кратно $N_1$. И если $a$ не кратно $N_1$, то вы его не охватите.

Вы правы, но на логику бесконечного спуска это не влияет.
Да, $N_1 \ne 1$; $t_2^3$ находится в интервале кубов не сопредельном с исходным составным кубом.
Установлено, что $t_2^3$ - из тройки решения УФ3. Поэтому рассматривать другие кубы в интервале сопредельном с исходным составным кубом не имеет смысла.
Они больше возможных значений $t_2^3$.
Более подробное обоснование этих вопросов будет представлено.

[venco]

Мне это топтание на месте надоело.

[shwedka]

lasta в сообщении #1153336 писал(а):

Поэтому рассматривается основной вариант бесконечного спуска для решений, имеющих общий делитель.

Это заявление полностью несовместимо с прежним грубо ошибочным

Цитата:

Если в бесконечном интервале кубов натуральных чисел рассматривать кубы по ходу их убывания в предположении, что
ВТФ не верна, то первым будет решение с общим делителем,

которое подразумевает, что в бесконечном множестве натуральных чисел может быть наибольший элемент.
Так что, меняя столь существенно подход, имейте смелость признать ошибку.

Цитата:

но на логику бесконечного спуска это не влияет.

lasta в сообщении #1153336 писал(а):

Поэтому рассматривать другие кубы в интервале сопредельном с исходным составным кубом не имеет смысла.

И опять бессодержательные фрагменты.

lasta в сообщении #1153336 писал(а):

Более подробное обоснование этих вопросов будет представлено.

И кто Вам мешал обосновать эти вопросы (обосновывают обычно ответы) ранее?

[lasta]

Доработанное предполагаемое доказательство является результатом рассмотрения всех замечаний по теме. Но он не изменил основной идеи изначального варианта бесконечного спуска для общего случая ВТФ.(сначала для кубов по правилам форума) для решений УФ в натуральных числах, имеющих общий делитель.
В теме, не применяется ни каких формул разложений сумм степеней, и общий случай доказательства будет отличаться изменением одного символа показателя 3 на $p$.
Основное утверждение: произвольную составную степень натурального числа невозможно представить в виде суммы двух других степеней натуральных чисел с общим делителем.
По ходу рассмотрения темы мне неоднократно предлагалось доказать случай с решением УФ3 в взаимно простых числах. Уважаемая $\text {\color{blue} shwedka}$ поднимала этот вопрос 5 раз. Но каждый раз, не понималось почему возникает этот вопрос и представлялось доказательство не в взаимно простых числах. И не делалось разъяснений, почему нет необходимости доказывать случай для взаимно простых чисел решения УФ3, когда доказывается случай с общим делителем. Что является упущением темы.
В конце концов я съехал с наезженной колеи идеи доказательства и предпринял неуклюжую и неудачную попытку доказательства случая с взаимно простыми числами. Чем только отвлек внимание от основной идеи.
Доработанное сообщение будет представляться всегда с самого начала, как требует этого уважаемая $\text {\color{blue} shwedka}$ до сложного момента, по которому могут возникнуть вопросы у участников форума.
Доказательство
Логика доказательства строится на отрицании представления составного куба суммой двух других кубов, имеющих общий делитель, так как в противном случае будет существовать второй, меньший первого, составной куб, который также не может быть представлен суммой двух других кубов с общим делителем, так как тогда будет существовать третий составной куб , меньший второго куба, который также не может быть представлен суммой двух других кубов натуральных чисел с общим делителем, по той же причине и так далее до бесконечности.
В этой логике главное, что существует меньший составной куб, один из сомножителей которого для рассматриваемого случая, - есть общий делитель для других кубов.
То есть отрабатывается идея невозможности существования решений УФ3 в натуральных числах, имеющих общий делитель. Доказательство этого утверждения доказывает и невозможность существования решений в взаимно простых числах.
Так как всякое решение в взаимно простых числах есть частное от деления решений с общим делителем на этот делитель.
Итак, для решения УФ3 с общим делителем выполняется тождество для произвольного составного куба

$$c^3=c_1^3c_{11}^3=c_{11}^3a_1^3+c_{11}^3(c_1^3-a_1 ^3); \quad( a_1,c_1,c_{11}) \in \mathbb {N}\qquad\e (1),$$

Где первая цифра нижнего индекса обозначает номер шага.
Если правая часть тождества (1) сумма двух кубов, то выражение в скобках

$$(c_1^3-a_1 ^3)=b_1^3 \Rightarrow (c_1^3=a_1 ^3+b_1^3) \Rightarrow (c_1 = c_2 c_{22} <c_1c_{11})$$

В дальнейшем используется только факт существования второго составного куба, меньшего первого составного куба.
Рассматриваются решения только с общим делителем. Поэтому один из сомножителей составного куба должен быть общим делителем для других кубов решения УФ3. И для этого случая составляется второе тождество

$$c_1^3=c_2^3c_{22}^3=c_{22}^3a_2^3+c_{22}^3(c_2^3-a_2 ^3); \quad( a_2,c_2,c_{22}) \in \mathbb {N},\qquad \e(2)$$

Напомним, $c_1$ произвольное число.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1153659 писал(а):

Напомним, $c_1$ произвольное число.

$c_1$ уже не произвольное число, а сомножитель $c$. Бег по кругу или блуждание в трёх соснах?

[shwedka]

lasta в сообщении #1153659 писал(а):

Поэтому один из сомножителей составного куба должен быть общим делителем для других кубов решения УФ3. И для этого случая составляется второе тождество

$$c_1^3=c_2^3c_{22}^3=c_{22}^3a_2^3+c_{22}^3(c_2^3-a_2 ^3); \quad( a_2,c_2,c_{22}) \in \mathbb {N},\qquad \e(2)$$

Дополняя сказанное уважаемым yk2ru, отмечу, что не доказано существование хотя бы одного решения УФ3 вида (2), то есть, с левой частью
$c_1^3$ и невзаимнопростыми слагаемыми в правой части.

Это я, зная lasta, замечаю вперед, поскольку lasta станет заявлять, что, мол, если (2) есть решение УФ3, то можно дальше сократить. Да, если. Так сразу же нужно рассмотреть и противоположный случай, когда таких решений не бывает, и (2) никогда не есть решение УФ3.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
То, что Вы для себя доказали ВТФ, причём много раз , никто уже не сомневается.

lasta в сообщении #1113795 писал(а):

А именно, новая степень – разность степеней - также составное число. Проделав такие же операции мы получили бы и другую степень меньшую $a_n^p$ с сохранением всех свойств исходной степени. И так до бесконечности. Но это не возможно для целых чисел. Следовательно равенство $a^p=V_b$ не возможно. Что и доказывает справедливость ВТФ.

и разными способами, исключительно простыми, так сказать FLT для "чайников"

lasta в сообщении #1151807 писал(а):

Но не существует бесконечности относительно целого числа. Следовательно, правая часть исходного тождества не является суммой двух кубов. Что и требовалось доказать.
Для доказательства общего случая ВТФ необходимо всего лишь заменить слово "куб" на слово "степень и показатель 3 на простой показатель $(p)$.

Концовки ваших сообщений тому подтверждения.
Сначала была разность степеней, потом сумма двух кубов!
Ваш стиль в ответах на вопросы и "умильные комментарии" на исторические темы, возможно, будут оценены любителями литературного чтива на тему "фантазийных" доказательств ВТФ, не имеющего отношения к строгим математическим доказательствам.
Ответ на вопрос о том, почему для одного и того же значения z имеются взаимно простые с ним $x,y$ решения и линейно связанные с ним же решения $x_1,y_1$ всегда даётся в уклончивой форме, с пояснениями , с разжевыванием открывшейся Вам истины для не очень сообразительных читателей и всегда подразумевается и следует продолжение...
Может быть сделать паузу, пока не наступило "осеннее обострение" у всех нас Ваших по-читателей

[lasta]

shwedka в сообщении #1153711 писал(а):

Дополняя сказанное уважаемым yk2ru, отмечу, что не доказано существование хотя бы одного решения УФ3 вида (2), то есть, с левой частью
$c_1^3$ и невзаимнопростыми слагаемыми в правой части.

Это я, зная lasta, замечаю вперед, поскольку lasta станет заявлять, что, мол, если (2) есть решение УФ3, то можно дальше сократить. Да, если. Так сразу же нужно рассмотреть и противоположный случай, когда таких решений не бывает, и (2) никогда не есть решение УФ3.

Конечно, это женщины не предсказуемы. Увидев присохшую крошку к тарелке, она будет драить ее до тех пор пока не сдерёт глянец. А у мужчин проще, как кто- то сказал: «Тряпка для стола, она же и для посуды и даже для пола.» Вы скажете, что мужчины неряхи. Нет у них всегда все чисто. И не надо сдирать глянец.

Уважаемая shwedka!
Попробуем рассмотреть этот случай более подробно. Поэтому для большей ясности произведем небольшие изменения в методе спуска.
Для решения УФ3 с общим делителем выполняется тождество для неограниченно большого составного куба

$$c^3=c_1^3c_{11}^3=c_{11}^3a_1^3+c_{11}^3(c_1^3-a_1 ^3); \quad( a_1,c_1,c_{11}) \in \mathbb {N}\qquad\e (1),$$

Где первая цифра нижнего индекса обозначает номер шага. На общий делитель $c_{11}^3$ не устанавливается ни каких ограничений. Он может быть любым.
При фиксированном $c_{11}^3 $, устанавливаем $c_1$ неограниченно большим.
Если правая часть тождества (1) сумма двух кубов, то выражение в скобках

$$(c_1^3-a_1 ^3)=b_1^3 \Rightarrow (c_1^3=a_1 ^3+b_1^3) \Rightarrow (c_1 = c_2 c_{22} <c_1c_{11})\Rightarrow c=c_2c_{22}c_{11} \quad \e (1.1)$$

В дальнейшем используется только факт, что в исходном кубе увеличивается число сомножителей на один, с каждым шагом спуска.
Рассматриваются решения УФ3 только с общим делителем. Если для этого случая будет существовать бесконечный спуск, то решения с взаимно простыми числами рассматривать нет необходимости.
Бытовой пример, иллюстрирующий этот случай. Кувшин воды разливается по стаканам.
Для того, чтобы выяснить отравлена вода или нет достаточно выпить один стакан.
Общим делителем могут быть один или несколько сомножителей составного куба..
Для этого случая составляется второе тождество

$$c^3=c_2^3 c_{22}^3 c_{11}^3= c_{11}^3 c_{22}^3a_2^3+c_{11}^3 c_{22}^ 3 (c_2^3-a_2 ^3) \quad( a_2,c_2,c_{22}) \in \mathbb {N}\qquad \e (2)$$

Здесь усовершенствован спуск. И отличается от прежнего тем, что все шаги спуска будут всегда производиться с первым составным кубом, который всегда существует в бесконечном интервале кубов.
Поэтому не будут возникать некоторые вопросы.
Продолжим. Выражение в скобках $(c_2^3-a_2 ^3)$ правой части (2) не может быть кубом, так как в противном случае аналогично (1.1) будет существовать третий составной куб со всеми свойствами второго куба.
Предположим, что это выражение и не куб.
Первый куб неограниченно большой, поэтому при фиксированном общим делителе, $c_1^3$ существует в неограниченно большом интервале. И тогда, все составные кубы в этом неограниченно большом интервале не представимы суммой двух других кубов. Следовательно, УФ3 не имеет решений если $(c_2^3-a_2 ^3)$ не является кубом.
По этому моменту также могут возникнуть вопросы, поэтому здесь и остановимся.

[shwedka]

lasta в сообщении #1154095 писал(а):

для неограниченно большого составного куба

Все эти слова про 'неограничено большой куб'
лишены смысла.

lasta в сообщении #1154095 писал(а):

. И отличается от прежнего тем, что все шаги спуска будут всегда производиться с первым составным кубом, который всегда существует в бесконечном интервале кубов.

И с какого конца он первый - самый большой или самый маленький?
Если самый маленький, так и напишите и перестаньте говорить о бесконечных интервалах.
Если самый большой, то утверждение всегда существует
Вам придется доказывать, что вы, без сомнения, сделать не сможете.

lasta в сообщении #1154095 писал(а):

И тогда, все????? составные кубы в этом неограниченно большом интервале не представимы суммой двух других кубов.

А вот про 'все' вам придется доказывать.
ВСЕ - то есть, про каждый конкретный. Не 'бесконечно большой', а конкретный.

[lasta]

shwedka в сообщении #1154104 писал(а):

ВСЕ - то есть, про каждый конкретный. Не 'бесконечно большой', а конкретный.

Уважаемая shwedka!
В этом случае область существования составного числа будет в виде такого определения.
Имеем множество всех простых чисел в полуинтервале $(1, P_i]$. Произвольным числом простых чисел в виде их произведения, допустимым этим полуинтервалом, образуются различные составные числа. Определим произвольную группу сомножителей как делитель составного числа. В результате такого произвольного деления образуются все составные числа, получаемые сочетанием простых чисел полуинтервала $(1,P_i] $, кроме числа, составленного в виде произведения всех простых чисел полуинтервала $(1,P_i]$.

[shwedka]

lasta в сообщении #1154350 писал(а):

Произвольным числом простых чисел в виде их произведения, допустимым этим полуинтервалом, образуются различные составные числа.

Это же надо так над русским языком издеваться!
А простые числа Вы берете в первой степени или произвольной?
Если только в первой степени, то уже числа, делящиеся на степень простого, выпадают из Вашего 'все'.
Для них, получается, нужно отдельное 'доказательство.'

Eller hur? (или как еще? (шв.))

[lasta]

shwedka в сообщении #1154352 писал(а):

А простые числа Вы берете в первой степени или произвольной?
Если только в первой степени, то уже числа, делящиеся на степень простого, выпадают из Вашего 'все'.
Для них, получается, нужно отдельное 'доказательство.'

Eller hur? (или как еще? (шв.))

Скоро я буду говорить на Шведском. Det är endast första nödvändigt till minskning (шв., только сначала необходимо уменьшить )количество ляпсусов на русском. Однажды автомат перевел мне фразу «Дорогу осилит идущий» на английский как “Всегда найдется выход из тупика тупикового".

Уважаемая Shwedka!
Случай, когда $a^3=(a_1^k)^3$, не нарушает общности утверждения, что после произвольного деления образуются все составные кубы с общим делителем, кроме куба являющегося произведением всех кубов для полуинтервала простых чисел $(1,P_i]$. Увеличивается число исходов до произвольного деления. Точно также увеличивается число исходов после деления.
Благодаря такому определению, можно сократить текст и перейти сразу же к произвольному $j$-шагу бесконечного спуска.
Имеем множество всех простых чисел в полуинтервале $(1, P_i]$.
Произвольным сочетанием простых чисел из $(1, P_i]$ образуем их произведение - число $c_j$ и взаимно простое с ним число $c_{jj}$.
В случае если не существует решений для УФ3, имеем составной куб $c_j^3 c_{jj}^3$ с общим делителем $c_{jj}^3$, для других кубов УФ3,
В результате такого произвольного деления образуются все составные кубы, получаемые сочетанием кубов по $(1,P_i] $, кроме куба - произведения всех простых чисел $(1,P_i]$
Составим тождество]

$$c^3=c_j^3c_{jj}^3=c_{jj}^3a_j^3+c_{jj}^3(c_j^3-a_j ^3); \quad( a_j,c_j,c_{jj}) \in \mathbb {N}\qquad\e (1),$$

Правая часть (1) не может быть суммой двух кубов, так как в этом случае выражение в скобках $(c_j^3-a_j ^3)$ должно быть кубом. То есть

$$(c_j^3-a_j ^3)=b_j^3 \Rightarrow }(c_j^3=a_j ^3+b_j^3) \Rightarrow (c_j = c_n c_{nn} <c_jc_{jj}) \Rightarrow c_n^3c_{nn}^3=c_{nn}^3a_n^3+c_{nn}^3(c_n^3-a_n ^3); \qquad \e (2)$$

Обратим внимание на то, что (2) охватывает все составные кубы с общим делителем, созданные произвольными произведениями простых чисел из $(1, P_i]$, кроме одного куба - произведения всех кубов простых чисел $(1, P_i]$ . Поэтому (2) имеет все свойства (1). Так как для куба - произведения всех кубов $(1,P_i]$ уже имеется утверждение, что согласно (1), этот куб не может быть суммой двух других кубов.
Поэтому справедливо утверждение, что выражение в скобках в (2) $(c_n^3-a_n ^3)$ не может быть кубом, так как в противном случае, аналогично выводам в (2), существовало бы следующее решение УФ3 с общим делителем и так до бесконечности. Но не существует бесконечности кубов натуральных чисел, меньших заданного куба натурального числа.
Таким образом, ни какой куб с общим делителем для других кубов УФ3 не существует. Следовательно, не существует и взаимно простых решений для УФ3, а также для всех других степеней с простым показателем $p>3$
Для этого в тексте необходимо заменить всего один символ 3 на $(p)$, а слово куб - на слово степень.