Чудесное доказательство

[lasta]

ananova в сообщении #1151637 писал(а):

то должно существовать бесконечно много шагов вверх (в сторону увеличения значений переменных), для которых ВТФ была бы "не верна",

Уважаемый ananova !
Вы верно это излагаете. Действительно исходный куб составной, иначе, ВТФ верна. Значит, существует интервал кубов меньших этого составного куба. И если в этом интервале нет решения, то УФ имеет единственное решение, Если же решение в указанном интервале снова существует, то становится существование двух решений УФ.
А так как новый куб снова составной, то существует еще интервал с меньшими кубами, к которому можно применить те же рассуждения. И показать, ВТФ либо верна, либо существует третий составной куб, а значит существует, интервал кубов с еще меньшими кубами и т.д.
Если таких интервалов получится бесконечно много, то теорема верна. А если на каком то интервале в результате спуска не появится составной куб, то делаем вывод, что число решений УФ в взаимно простых числах является конечным.

-- 19.09.2016, 10:24 --

shwedka в сообщении #1152598 писал(а):

доказательство отсутствует

Уважаемая shwedka!
В сообщении, к которому Вы сделали замечание произошел сбой. И я сделал следующее сообщение[quote="lasta в сообщении #1152591"]И то, что если существует решение УФ в взаимно простых числах, то оно единственное в верхней части интервала, где существует составной куб, в этой теме доказано. (Без пометки, что исправляю опечатку)
Поэтому речь идет о том, что если существует решения УФ, то число их конечно. О чем и писал ananova.
Доказательство в предыдущем сообщении в ответе уважаемому ananova.
То есть вывод такой. ВТФ либо верна, либо имеет конечное число решений в взаимно простых числах. И доказательство этого вывода наверное наиболее простое.

[shwedka]

lasta в сообщении #1152599 писал(а):

Поэтому речь идет о том, что если существует решения УФ, то число их конечно.

По-прежнему, доказательство отсутствует.

lasta в сообщении #1152599 писал(а):

И если в этом интервале нет решения, то УФ имеет единственное решение,

Отсутствует рассуждение, запрещающее взаимнопростые решения УФ, примерно в 100500 раз большие вашего первоначального.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1152587 писал(а):

Если уравнение Ферма и имеет решение в взаимно простых числах, то это решение единственное.

Если решение для степени три единственное, то оно и минимальное. Эйлер же показал, что в этом случае есть и другое решение, ещё более минимальное. То есть решений становится более одного. Утверждение о единственности решения значит неверное.

[lasta]

shwedka в сообщении #1152603 писал(а):

lasta в сообщении #1152599 писал(а):Поэтому речь идет о том, что если существует решения УФ, то число их конечно.

shwedka в сообщении #1152603 писал(а):

По-прежнему, доказательство отсутствует.

Цитата:

="lasta в сообщении #1152599 писал(а):И если в этом интервале нет решения, то УФ имеет единственное решение,

shwedka в сообщении #1152603 писал(а):

Отсутствует рассуждение, запрещающее взаимнопростые решения УФ, примерно в 100500 раз большие вашего первоначального.

Уважаемая shwedka!

Следовательно, для ограниченного интервала ВТФ либо верна Существует бесконечный спуск, бесконечное количество решений. либо ВТФ не верна число решений УФ конечно. Но если интервал неограниченно увеличивать, то ВТФ опять либо верна, либо число решений УФ может увеличиваться, а может и не увеличиваться, В конечном итоге мы ничего не получаем.
Вы правы.

[ananova]

lasta в сообщении #1152599 писал(а):

Уважаемый ananova !
Вы верно это излагаете. Действительно исходный куб составной, иначе, ВТФ верна. Значит, существует интервал кубов меньших этого составного куба. И если в этом интервале нет решения, то УФ имеет единственное решение, Если же решение в указанном интервале снова существует, то становится существование двух решений УФ.

Ну, согласен. Если УФ имеет единственное решение, то куб составной. Вы пытаетесь создать противоречие и строить для этого рекурсивный спуск вниз, в надежде, что следующее решение также будет подчиняться этому правилу. Но Ваша ошибка в том, что Вы любой куб, который попался "под раздачу" объявляете составным и далее следуете по рекурсии вниз. Теперь Вам нужно заняться тем, что требует shwedka. Я тоже считаю что Вы должны доказать, а не предъявлять вместо доказательства общие мысли:

lasta в сообщении #1152663 писал(а):

Следовательно, для ограниченного интервала ВТФ либо верна Существует бесконечный спуск, бесконечное количество решений. либо ВТФ не верна число решений УФ конечно. Но если интервал неограниченно увеличивать, то ВТФ опять либо верна, либо число решений УФ может увеличиваться, а может и не увеличиваться, В конечном итоге мы ничего не получаем.

Может Вы и правы, но доказательства нет.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1152599 писал(а):

А так как новый куб снова составной, то существует еще интервал с меньшими кубами, к которому можно применить те же рассуждения.

Все новые меньшие кубы являются сомножителями начального произвольного числа $N$. И это значит конечное количество раз возможно получить составной куб на очередном этапе якобы "бесконечного спуска". Любое произвольное и сколь угодно большое число всё равно содержит конечное количество сомножителей из простых чисел.

[lasta]

ananova в сообщении #1152718 писал(а):

о Ваша ошибка в том, что Вы любой куб, который попался "под раздачу" объявляете составным и далее следуете по рекурсии вниз.

Это не так. Это сокращенное изложение.
Имеем неограниченно большой интервал существования кубов. Идем по ходу уменьшения кубов. Если нет ни одного куба, равного сумме двух других кубов, то ВТФ верна.
Если встретился первый куб решения, который равен сумме двух других кубов, то этот куб составной (другие составные кубы которые нам встречаются мы не учитываем)
Если куб составной, то существует второй интервал кубов - начальная часть рассматриваемого интервала, то есть меньших первого куба решения.
Теперь исследуем этот интервал по ходу уменьшения кубов. Если в этом интервале нет кубов решения, то имеем единственное решение УФ в виде первого куба решения. если же в этом интервале имеется куб решения, то он также составной. Количество решения стало равным двум, и существует третий интервал кубов меньших второго куба решения
Таким образом, Если ВТФ не верна,, то количество решений будет равно количеству интервалов кубов, где существует решение.
Если же ВТФ верна, то спуск будет бесконечным и будет бесконечное количество решений УФ.
В этом случае бесконечного спуска мы не определяем новые составные кубы путем деления предыдущего составного куба.
Но как указала $\text{\color{blue}shwedka}$, что и этот неограниченно большой интервал можно увеличить в 100500 раз, и нельзя определить будет ли увеличено в связи с этим количество решений или нет.
Так что, доказательство конечного числа решений справедливо для конкретного интервала. Хотя это и так очевидно.

-- 19.09.2016, 21:32 --

yk2ru в сообщении #1152720 писал(а):

Все новые меньшие кубы являются сомножителями начального произвольного числа $N$. И это значит конечное количество раз возможно получить составной куб на очередном этапе якобы "бесконечного спуска". Любое произвольное и сколь угодно большое число всё равно содержит конечное количество сомножителей из простых чисел..

Здесь Вы совершенно правы. Это и есть логика бесконечного спуска. Мы доказываем,что спуск бесконечный, а это противоречит свойству целого числа. не может существовать бесконечного количество чисел меньших определенного числа. Следовательно предположение о существовании решения УФ в виде конечных натуральных чисел не верно.

[ananova]

Я не принимаю Ваших объяснений, просто предъявите доказательство.
С интервалами - по-моему будет интересно в Пургатории.

[yk2ru]

lasta в сообщении #1152737 писал(а):

Мы доказываем,что спуск бесконечный

Для этого вам нужно доказать, что для самого первого после сокращения составного куба, равного сумме взаимно простых кубов, найдётся сомножитель-куб такой, что сократив на него придёте к новому кубу, равному сумме сумме взаимно простых кубов. Такого доказательства не приводилось в данной ветке.

[shwedka]

yk2ru в сообщении #1152784 писал(а):

Такого доказательства не приводилось в данной ветке.

и очень много раз я у автора такое доказательство требовала,при этом автор прикидывался валенком и делал вид,что это его не касается

[lasta]

shwedka в сообщении #1152826 писал(а):

и очень много раз я у автора такое доказательство требовала,при этом автор прикидывался валенком и делал вид,что это его не касается

Уважаемая shwedka!
Я зря поднял вопрос о конечном числе решений, где пытался применить другой метод спуска.. Это вопрос отдельной темы. И по Вашему замечанию, я понял, что он такой же сложный, как и доказательство ВТФ.
Что касается основного вопроса, то был предложен последний вариант попытки доказательство ВТф

lasta в сообщении #1152397 писал(а):

Произвольный исходный куб- это такой куб, который представляет любой куб в бесконечном интервале кубов. Следовательно, если он не представим суммой двух других кубов, то ВТФ верна для всех кубов натуральных чисел в их бесконечном интервале существования.
Если ВТФ не верна, то есть исходный куб $c^3=a^3+b^3;\qquad (a,b,c) \in \mathbb {N}$, тогда этот куб будет составным $c^3=c_1^3c_{1s}^3$, значит, существует куб $c_1^3<c^3$, также произвольный, который также может быть неограниченно большим, так как он частное при делении $c^3$ на $c_{1s}^3$(см. рассуждение 1.). Следовательно, если ВТФ верна, то она верна также для ничем не ограниченного сверху интервала кубов. Если же ВТФ не верна, то есть, существует решение $c_1^3=a_1^3+b_1^3 \qquad (a_1,b_1,c_1) \in \mathbb {N}$, тогда куб $c_1^3$ - также составной, $c_1^3=c_2^3c_{2s}^3$. Точно такие же рассуждения применимы к $c_2^3$, который также будет произвольным и может быть неограниченно большим, так как является частным от деления предыдущего куба $c_1^3$ на $c_{2s}^3$. А куб $c_1^3$ может быть неограниченно большим.и т.д. для все других новых кубов до бесконечности. Везде будет два исхода, - или ВТФ верна или в противном случае существует новый составной куб.

На эту попытку Вы сделали замечание

shwedka в сообщении #1152428 писал(а):

Никаким неограниченно большим он быть не может,поскольку он - делитель фиксированного куба,
того самого, на котором ВТФ нарушается.

Здесь Вы правы.
Хотя, существование нового составного куба решения УФ не в сопредельном интервале с предыдущем кубом решения, не противоречит логике спуска, но требует дополнительных разъяснений, как происходит в этом случае возврат к предыдущему кубу решения для восстановления спуска, если в новом интервале отсутствует куб решения. На тождествах это было показано. Теперь, надо связать эту идею с последним вариантом попытки доказательства ВТФ.
Для этого требуется время.

[shwedka]

lasta в сообщении #1153018 писал(а):

Я зря поднял вопрос о конечном числе решений

зря, конечно, зря.
еще до Уайлза, Герд Фалтингс, совсем другими методами, доказал конечность множества решений уравнения Ферма. и получил за это Филдсовскую медаль.
а по поводу степени 3, почитайте Эдвардса.

[ananova]

Будем смотреть и поддерживать успешные попытки.

[lasta]

Рассмотрим числовой пример. Для случая когда ВТФ не верна на кубах это показать нельзя. Покажем на квадратах.

$$65^2=5^2 13^2=33^2+56^2 $$

Для $5^2 13^2 $ формулируем тождество

$$ 5^2 13^2=5^2 d^2+5^2(13^2-d^2);\quad 1<d<13 $$

пусть $d=12$.

$$ 5^2 13^2=5^2 12^2+5^2(13^2-12^2);\quad 1<d<13 \qquad \e (1)$$

Сокращаем $5^2$. Получаем

$$13^2=12^2+(13^2-12^2)=12^2+5^2\quad 1<d<13 \qquad \e (2)$$

Квадраты правой части (2) получены только на основании существования составного квадрата. Они взаимно просты с квадратами правой части (1). Ни каких линейных преобразований между этими квадратами не существует.
Пусть $d=2$.
Тогда

$$ 5^2 13^2=5^2 2^2+5^2(13^2-2^2); \qquad 13^2=2^2+(13^2-2^2) $$

В первом случае значение в скобках равняется квадрату. Во втором нет. Но $d^2$ - произвольный в интервале его существовании. Рассматриваются все случаи.
Значит обязательно определится, что решение существует. Точно также с сокращаемым квадратом. Сокращение произвольное. Рассматриваются все возможные случаи
А теперь сравним, что рассматривалось для кубов

lasta в сообщении #1152108 писал(а):

Всегда существует следующее равенство в взаимно простых числах

$$c^3=a^3+N,$$

где $(a,c,N )\in \mathbb {N}$ Числа $a,c$ - произвольные, а $N$, естественно, определяется разностью кубов $N=c^3-a^3$. Поэтому всегда выполняется тождество

$$c^3=a^3+(c^3-a^3) \qquad \e (1)$$

Например, в числах, когда ВТФ верна.

$$7^3=5^3+N=5^3+(7^3-5^3)=5^3+127$$

В случае, когда правая часть (1) простое число, ВТФ верна, потому, что сумма кубов всегда должна быть составным числом.
Предположим, что ВТФ не верна. То есть, $ N $ являлось бы кубом натурального числа. $N=b^3$. Тогда $c^3$ был бы составным кубом, так как равнялся бы сумме кубов $c^3=a^3+b^3$ Запишем $c^3=c_1^3c_{1s}^3$. Значит, всегда выполнялось бы тождество

$$c_1^3c_{1s}^3=c_{1s}^3a_1^3+c_{1s}^3(c_1^3-a_1 ^3) \qquad \e(2)$$

И тождество (3)

$$c_1^3 = a_1^3+ (c_1^3-a_1 ^3) \qquad \e(3)$$

где кубы произвольные и покрывают все сочетания кубов И в случае, если ВТФ не верна для некоторых $(c_1,a_1)$, выражение в скобках правой части (3) было бы кубом натурального числа. То есть

$$c_1^3-a_1^3=d_1^3$$

Тогда

$$c_1^3 =d_1^3+ a_1^3$$

Следовательно, $c_1^3$ был бы составным кубом. Запишем

$$c_1^3=c_2^3c_{2s}^3$$

Индекс $ s $ означает, что в дальнейшем куб с таким индексом будет сокращаться

Все то же самое. Значит ни каких делений исходных кубов $a^3,b^3$ на какой-то коэффициент не требуется. Второе тождество сформулировано только на основании существования исходного куба.Здесь рассматривается бесконечный интервал кубов, И если исходного куба нет, То ВТФ верна сразу же.
Это для разминки. Чтобы снять все-таки вопрос о необходимости деления исходных кубов.
И признать правомерность применения тождеств (1), (2) в доказательстве.

[yk2ru]

Метод ТС этой темы предполагает, что возможно куб некоторого числа дважды приравнять к сумме кубов, то есть

$N^3 = x^3 + y^3 = z^3 + w^3$

В книге Серпинского "О решении уравнений в целых числах" даны все решения уравнения

$x^3 + y^3 = z^3 + w^3$

Так как решения даны все, то пусть ТС попробует сложить левую или правую части равенства из полученных там выражений для четырех чисел $x, y, z, w$ и в результате получить куб.
Разумеется, никакого куба не получится, так что метод попросту опровергается решениями уравнения

$x^3 + y^3 = z^3 + w^3$,

которые можно посмотреть у Серпинского.