Столь яркое выступление
amarsianin не по математике, а по автору темы, наводит на мысль, что он хотел хорошо выглядеть в глазах

.
Продолжим тему со следующими соображениями.
Если текст предлагаемого метода спуска будет не понятен кому-то, то будем считать этот текст чудовищно косноязычным.
А если этот же текст кому-то понятен, то не будем считать его чудовищно косноязычным. Дальнейшие выводы о читателях темы делать не будем.
Итак, с учетом ограниченного инструмента у автора по стилю изложения, только подробнее, о чем всегда просит уважаемая

.
Действительно - тема по ВТФ, и механизм доказательства будет сломлен из- отсутствия малейшего винтика. И я помню о её требовании по разъяснению второго шага спуска.
Минимальный составной куб

не представим суммой двух других кубов натуральных чисел.В этом случае в тождестве (1)

может быть равно только 2.

Выражение в скобках правой части (1.2)

не является кубом. Умножив левую и правую части (1.2) на любой куб

, мы не решим проблемы. Правая часть (1.2) все равно не будет представима суммой двух кубов.
Значит, для составного числа

, решения УФ3 с произвольным общим делителем

не существуют. А это есть главное утверждение темы. Следовательно,

для тождеств вида (1) может быть только общим делителем, либо сомножителем общего делителя решения УФ3.
Рассмотрим составной куб

. Если

,
где P-простое число, то
Выражение в правой части (1.3)

так как в противном случае куб простого числа представим суммой двух других кубов. Чего не может быть.
На этом остановимся.