Определение предельной точки множества

[Oxkfkcj]

Почему в определении предельной точки множества говорится о любой эпсилон-окрестности этой точки?
Определение: Точка $a$ множества $M$ именуется предельной точкой множества $A\subset M$ если ДЛЯ ЛЮБОЙ эпсилон окрестности этой точки можно указать точку $x$ множества $A$, отличную от самой точки $a$.
Я немного запутался. Ведь если указать достаточно малую эпсилон окрестность точки $a$, которая не будет даже касаться множества $A$, то не найдётся такой точки в этой окрестности, которая бы принадлежала множеству $A$. Тогда получается что определение верно не для любой эпсилон-окрестности.

[Brukvalub]

Oxkfkcj в сообщении #1154292 писал(а):

Ведь если указать достаточно малую эпсилон окрестность точки $a$, которая не будет даже касаться множества $A$

, то $a$ и не будет предельной точкой множества $A$

[Oxkfkcj]

Brukvalub в сообщении #1154293 писал(а):

Oxkfkcj в сообщении #1154292 писал(а):

Ведь если указать достаточно малую эпсилон окрестность точки $a$, которая не будет даже касаться множества $A$

, то $a$ и не будет предельной точкой множества $A$

Ну да, но ведь можно указать большую окрестность этой же самой точки, которая уже будет иметь с множеством не пустое пересечение и тогда получается, что эта точка с одной окрестностью является предельной, а с другой уже нет... А в определении говорится, что именно и для той и для другой окрестности точка будет предельной....
Кстати, я под точкой $a$ имею ввиду точку, которая принадлежит дополнению $M\setminus A$, то есть она находится за пределами множества $A$, а не в самом множестве $A$

[Brukvalub]

Замените в определении словА "для любой" на словА-синонимы "для каждой", и еще раз подумайте.

[Mikhail_K]

Пусть $A$ - открытый круг, $a$ - точка на его границе (т.е. на окружности). Тогда, какую бы Вы малую окрестность ни выбрали, даже с радиусом одна миллионная - всё равно эта окрестность будет содержать некоторую точку множества $A$ (разумеется, отличную от $a$). Поэтому точка $a$ будет предельной точкой для $A$.

А вот если Вы выберете точку $a$ вне круга на некотором отдалении от его границы, пусть даже очень близко к границе - то Вы правы. В каких-то больших окрестностях такой точки Вы найдёте точки множества $A$, но если возьмёте очень-очень маленькую окрестность, то не найдёте. Здесь важно то, что не любая окрестность такой точки содержит точки множества $A$. Поэтому такая точка $a$ не будет предельной.

[Brukvalub]

Mikhail_K, видимо, тс воспринимает слова "для любой" как "для какой-нибудь ему понравившейся", в этом и состоит закавыка.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1154307 писал(а):

Mikhail_K, видимо, тс воспринимает слова "для любой" как "для какой-нибудь ему понравившейся"

Увы, это распространённое явление.