Как распределятся падающие шарики

[vamoroz]

На рисунке изображена разновидность доски Гальтона.
Спрашивается, как распределятся шарики по нижним накопителям, если их последовательно выпускать из верхних накопителей (так, что бы при падении шарики не сталкивались).

В связи с тем, что тема через 2 часа после ее появления оказалась в карантине по причине отсутствия попытки собственного решения, добавляю, что
1. Мне известно два способа решения данной задачи, которые, в конечном итоге, дают разные результаты
2. Попытки самостоятельно решить были предприняты в теме Доска Гальтона

Karan в сообщении #1149571 писал(а):

Если хотите продолжать обсуждение в новой теме, то приведите в этой новой теме эти известные Вам два противоречащих друг другу способа решения.

Вторая попытка выхода из карантина.

Поставленная задача легко решается теоретически. Для того , что бы определить среднее количество шариков (математическое ожидание) попавших в накопитель надо последовательно умножить общее количество брошенных шариков на вероятности попадания шарика в тот или иной накопитель, которые берутся из функцию плотности распределения. Решение задачи сводится к определению этой функции.
Дискретная функция плотности распределения так же легко определяется теоретически. Для этого необходимо вектор состояния системы умножить на стохастическую матрицу перехода. Вектор состояния определен. Это равномерное распределение . Остается вычислить стохастическую матрицу.
Стохастическую матрицу можно определить двумя способами, которые дают разные значения.
Способ 1.Стохастическая матрица определяется как возведение в n-ю степеннь матрицы
$M =\left( \begin{array}{ccccccc} 1/2 & 1/2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/4 & 1/2 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1/2 & 1/4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1/4 & 1/2 & 1/4 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1/2 & 1/2 \end{array} \right) $
Способ 2. Элементы стохастической матрицы определяются как отношение $c_i_,_j /n_i $ где $c_i_,_j$ - элементы целочисленной матрицы C, возведенной в n-ю степень, $ n_i $ - построчная сумма элементов той же матрицы.
$C =\left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) $
Расчет этими двумя способами существенно различаются. Привожу графики полученных функций распределения для n=6.

На рисунке изображены две совершенно разные функции плотности распределения. График одной «рогатый», с двумя явными экстремулами по краям, график другой «горбатый» с экстремулом в середине. На увеличение числа ярусов с гвоздиками $ (n \to \infty )$
данные методики реагируют по разному. У рогатого графика опускаются «рога» и распределение становится практически равномерным, если не считать двух крайних точек. Совершенно по другому ведет себя горбатый график, - его «горб» продолжает расти и увеличивается до определенной величины.
Способ расчета 1 считается правильным.
Способ расчета 2 основан на подсчете числа вариантов попадания шарика в конкретный накопитель.
В случае, если шары бросаются из центрального верхнего накопителя данные методы расчета дают
- одинаковый результат, если доска Гальтона сделана так, что бы отражения от края доски не было (треугольник гвоздей) . Для наглядности, даже вычисляют число вариантов попадания шарика в накопитель с помощью треугольника Паскаля.
- очень близкий результат, если эффект отражения от края доски не сильный (домик гвоздей небольшой этажности).
Учитывая выше сказанное, хотелось бы выслушать мнение участников форума по поводу того, как распределяться шары при прохождении через доску Гальтона, при условии, если на «вход» доски дать равномерное распределение.

[Brukvalub]

Задам встречный вопрос: а как без эксперимента, чисто теоретически т.е. умозрительно решается аналогичный вопрос для классической доски Гальтона?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Xaositect]

Первый способ правильный.

vamoroz в сообщении #1149479 писал(а):

Способ расчета 2 основан на подсчете числа вариантов попадания шарика в конкретный накопитель.

Варианты попадания имеют разную вероятность, если играет роль отражение от стенок.

[vamoroz]

Xaositect в сообщении #1150495 писал(а):

Первый способ правильный.

Согласно сообщению Евгения Машерова, статистики по доске Гальтона нет.
Согласно сообщению Someone , никаких теоретических исследований посредством доски Гальтона не проводилось.
Где ошибка во втором способе вычисления вероятностей?

[svv]

vamoroz в сообщении #1153196 писал(а):

Где ошибка во втором способе вычисления вероятностей?

Xaositect в сообщении #1150495 писал(а):

Варианты попадания имеют разную вероятность, если играет роль отражение от стенок.

[vamoroz]

Xaositect объясняет ошибку второго способа неравномерностью вероятностей.

Xaositect в сообщении #1150495 писал(а):

Варианты попадания имеют разную вероятность, если играет роль отражение от стенок.

Того же мнения придерживается svv.
На сколько я их понял, они считают, что в рассматриваемом случайном процессе следует рассматривать 3 элементарных события
1. Уход шарика влево (вероятность 0,5)
2. Уход шарика вправо (вероятность 0,5)
3. Отскок шарика от стенки (вероятность 1)
Как проверить эту гипотезу? Это надо принять на веру?

[arseniiv]

А какая альтернатива? Шарик выскакивает через стенку и катится гулять в лес?

[vamoroz]

На сколько понятно из сообщения arseniiv-а, он также сторонник гипотезы о неравномерности вероятностей.
Уважаемые сторонники этой гипотезы.
Дайте ссылку на доказательство, что движение шарика через доску Гальтона описывается марковской цепью?
Напоминаю, что статистики по данному процессу нет.

[svv]

Я берусь объяснить, почему вероятности различны, если Вы согласитесь отвечать на вопросы.

[arseniiv]

vamoroz в сообщении #1155238 писал(а):

Дайте ссылку на доказательство, что движение шарика через доску Гальтона описывается марковской цепью?

А чего тут доказывать-то? Если $P_i(t)$ — вероятность того, что шарик сидит на гвозде (по горизонтали) $i$ в момент $t$, то очевидно выписывается система равенств, выражающих все $P_i(t+1)$ линейно через (некоторые) $P_j(t)$ (для удобства можно считать, что в каждом ряду гвозди нумеруются либо чётными, либо нечётными целыми). Если проблемы с чем-то конкретным — скажите, с чем.

vamoroz в сообщении #1155238 писал(а):

Напоминаю, что статистики по данному процессу нет.

Всё есть, можно было уже перестать писать такие глупости ещё с предыдущей темы. Если вы считаете выдаваемые на-гора компьютерной моделью числа несоответствующими действительности, вам следует это доказать чем-то кроме «не верю». Конечно, в реальной доске шарик может из-за землетрясения вылететь через верх и, например, потом влететь назад и попасть не в ту лунку, или доска будет изготовлена так криво, что она не будет моделировать то, что должна была — но всё это понятно как относится к теме. Эта доска — это физическая модель одной вполне определённой математической системы. Честно не понимаю, как вообще могут появляться вопросы, появляющиеся у вас.

[vamoroz]

arseniiv в сообщении #1155291 писал(а):

А чего тут доказывать-то?

arseniiv в сообщении #1155291 писал(а):

Всё есть

Перечисляю это «все».
1. На DxDy есть 4 темы «Доска Гальтона», «Как распределятся падающие шарики», «шашка и шарики», «Усеченная доска Гальтона» где рассматривается один и тот же физический процесс.
2. Есть две различные гипотезы, описывающие природу данного процесса. Есть расчеты, сделанные на основании этих гипотез.
3. Есть сообщение Евгений Машеров-а, что статистики по рассматриваемому процессу нет
4. Есть сообщение Someone , что никаких теоретических исследований посредством доски Гальтона не проводилось.
5. Есть статистика Гальтона
6. Есть статистика vamoroz-а
7. Есть статистика Александрович-а
8. Есть статистика tolstopuz-а и алгоритм, на основании которого получена данная статистика
9. Есть алгоритм svv, статистика не представлена.
10. Есть алгоритм arseniiv-а, статистика не представлена.
Возможно, что-то упущено.

[arseniiv]

И, собственно?

[vamoroz]

arseniiv в сообщении #1100390 писал(а):

Есть наука под названием теория вероятностей.