Чем отличается тождество от равенства

[warlock66613]

epros в сообщении #1152240 писал(а):

Независимо от поставленной нам в отношении этой формулы задачи.

Видите, вы опять сказали "независимо от поставленной задачи". А зачем бы вам вообще говорить о какой-то задаче, если ни про какую задачу речь не шла? А затем, что без задачи нет уравнения.

Что касается корректности слова "равенство", то возражения понятны, но это всё равно лучший термин для краткого обозначения утверждения о равенстве двух объектов, поскольку "уравнение" для этого не подходит никак.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1152245 писал(а):

А зачем бы вам вообще говорить о какой-то задаче, если ни про какую задачу речь не шла? А затем, что без задачи нет уравнения.

Странная логика. Про жизнь на Марсе тоже речь не шла, но можно было бы сказать, что формула такого вида является уравнением независимо от жизни на Марсе. Неужели Вы скажете, что без жизни на Марсе нет уравнения?

warlock66613 в сообщении #1152245 писал(а):

это всё равно лучший термин для краткого обозначения утверждения о равенстве двух объектов, поскольку "уравнение" для этого не подходит никак

Вот именно, что равенство является отношением между объектами. Поэтому и сравнивать его с тождеством - странно. Уравнение - совсем другое дело, там не просто речь об абстрактных "объектах", а о некоторых выражениях как слева, как и справа от знака $=$. Собственно, тождество - и есть разновидность уравнения.

[warlock66613]

epros в сообщении #1152339 писал(а):

можно было бы сказать, что формула такого вида является уравнением независимо от жизни на Марсе

Можно было бы сказать, но вы не сказали. А про задачу сказали. А значит, по крайней мере в вашей голове, уравнение ассоцируется с задачей.

-- 18.09.2016, 20:42 --

epros в сообщении #1152339 писал(а):

Собственно, тождество - и есть разновидность уравнения.

Чтобы сказать, что $2 + 2 = 4$ - это определённо тождество, контекст не нужен. А чтобы расматривать это как уравнение нужен, иначе это не уравнение.

[arseniiv]

epros в сообщении #1152225 писал(а):

А я вот полагаю, что уравнение - это как раз "формула сама по себе"

По мне, такую формулу лучше прямо так и называть: формула вида $t=u$. Или, если есть удобная терминология, формула <с-корнем-синтаксического-дерева> $=$.

Мне только лишь видно, что ваши понимания слов равенство и уравнение необщепринято ограничены. Вместе с выделением какого-то одного множества конструкций как вольностей речи.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1152360 писал(а):

значит, по крайней мере в вашей голове, уравнение ассоцируется с задачей

Мои ассоциации тут ни при чем. Контекст беседы явно предполагал, что некоторые рассматривают понятие "уравнения" только в контексте каких-то задач. Мне просто пришлось на это возразить, по причине несогласия с сим мнением.

warlock66613 в сообщении #1152360 писал(а):

Чтобы сказать, что $2 + 2 = 4$ - это определённо тождество, контекст не нужен

А аксиоматика, в которой это доказывается, чем Вам не контекст?

warlock66613 в сообщении #1152360 писал(а):

А чтобы расматривать это как уравнение нужен, иначе это не уравнение.

Не понимаю почему. Я догадываюсь, что для того, чтобы считать это уравнением, Вам, наверное, не хватает каких-нибудь переменных. Ну так возьмите любой $x$. То, что его нет в данной формуле в явном виде, никак не помешает нам рассмотреть значения истинности данной формулы при разных значениях данного $x$.

[warlock66613]

epros в сообщении #1152384 писал(а):

Ну так возьмите любой $x$. То, что его нет в данной формуле в явном виде, никак не помешает нам рассмотреть значения истинности данной формулы при разных значениях данного $x$

Только если он есть в этой формуле в неявном виде, что как раз и определяется контекстом. Если есть - уравнение, а если нет - значит нет.

[epros]

arseniiv в сообщении #1152365 писал(а):

формула вида $t=u$

А баскетбол давайте называть "игрой по забрасыванию мяча в корзину".

arseniiv в сообщении #1152365 писал(а):

Мне только лишь видно, что ваши понимания слов равенство и уравнение необщепринято ограничены

Не вижу общепринятости в Вашем понимании общепринятости. Если судить о мнениях "общественности" по всяким словарям и википедиям, то лично я вижу там определения "равенства" именно как "отношения". И оно очевидным образом не всегда является уравнением, хотя бы вот и в этой формуле: $\forall x,y ~ (x=y) \to (\varphi(x) \leftrightarrow \varphi(y))$, - равенство есть, а уравнения вроде как и нет никакого.

-- Вс сен 18, 2016 21:39:04 --

warlock66613 в сообщении #1152389 писал(а):

Только если он есть в этой формуле в неявном виде, что как раз и определяется контекстом. Если есть - уравнение, а если нет - значит нет.

То, что в одной теории рассматривается как константы $2$ и $4$ (а константа, как известно, это нуль-арная функция), в другой теории внезапно может начать трактоваться как функции каких-то переменных. Так что да, контекст может поменять понимание формулы. Однако я не понимаю, зачем нам нужно определять понятие "уравнения" таким образом, чтобы оно ото всей этой ерунды зависело.

[warlock66613]

epros в сообщении #1152392 писал(а):

Однако я не понимаю, зачем нам нужно определять понятие "уравнения" таким образом, чтобы оно ото всей этой ерунды зависело.

Затем же, зачем нужны коды с коррекциями ошибок и вообще избыточность: для улучшения передачи информации. Чтобы слово "уравнение" в тексте несло больше информации. Но в любом случае это неправильная постановка вопроса. Вопрос не в том, как надо определять понятие "уравнение", вопрос в том, какое определение подразумевается уже существующими употреблениями этого слова в математической и околоматематической литературе.

[arseniiv]

epros в сообщении #1152384 писал(а):

А аксиоматика, в которой это доказывается, чем Вам не контекст?

Недостаточный же контекст.

Спор ради спора вижу, спора ради появления знаний — нет.

epros в сообщении #1152392 писал(а):

А баскетбол давайте называть "игрой по забрасыванию мяча в корзину".

Часто в языке недостаёт коротких формулировок для какой-то вещи. Это не значит, что надо (насильно и в одностороннем порядке) переосмысливать ради этого фразы с устоявшимся смыслом. Сейчас равенство — даже в математическом контексте слово с полисемией, и вы можете этого не признавать, но это отразится на коммуникации лишь локально вокруг вас. Может быть, ваше предложение по изменению семантике когда-нибудь реализуется. Но не сейчас. Вот equality, насколько я начитался, действительно нельзя понять как «формула вида $t=u$», а только как само отношение, это да. Но это и другой язык.

epros в сообщении #1152392 писал(а):

Если судить о мнениях "общественности" по всяким словарям и википедиям

Разумеется, так делать не надо. Надо судить по содержимому голов текущих математиков. Это в данный момент невозможно, но возможны неплохие приближения — математические обсуждения, статьи и книги.

-- Вс сен 18, 2016 22:49:32 --

warlock66613 в сообщении #1152406 писал(а):

Вопрос не в том, как надо определять понятие "уравнение", вопрос в том, какое определение подразумевается уже существующими употреблениями этого слова в математической и околоматематической литературе.

++

-- Вс сен 18, 2016 22:50:13 --

А вопрос, почему так сложилось, вообще в большой части лингвистический. Математические разновидности естественных языков лингвистика тоже рада изучать.

[epros]

arseniiv в сообщении #1152412 писал(а):

Сейчас равенство — даже в математическом контексте слово с полисемией, и вы можете этого не признавать, но это отразится на коммуникации лишь локально вокруг вас

Я это явно признал уже во втором своем посте здесь (а в первом - подразумевал). Речь была только о том, что в контексте сравнения с тождеством употребление понятия равенства в таком смысле как раз неудачно. Ибо про абстрактное отношение равенства между "какими-то объектами" невозможно судить о том, "тождественное" оно или нет. Вот если есть формула (да, да, в общем случае - с переменными), то уже можно судить о ее тождественной истинности.