Чем отличается тождество от равенства

[wrest]

Munin в сообщении #1151419 писал(а):

И эта функция рассматривается в некоторой области. И в этой области определители не должны обращаться в нуль как функции.

Здесь чего-то не хватает, т.к. кое-где в $\mathscr{D}$ определители могут в ноль обращаться, об этом написано дальше в этом 216-м пункте после слов "Говорят, что ...".

Там я когда первый раз читал, то сперва прочитал что не должны обращаться в ноль элементы (а не определители).

Но я уже понял. "Тождественно" означает во всей области допустимых значений, везде в ней, в каждой точке области.

Заодно, прокомментируете почему Фихтенгольц немного выше, в конце пункта 215, пишет "продифференцируем это тождество по каждой из переменных" ... "мы получим ряд тождеств" а ниже, через 3 страницы в пункте 216, пишет "продифференцируем уравнения" ... "мы получим равенства"?

[Munin]

wrest в сообщении #1151427 писал(а):

Здесь чего-то не хватает, т.к. кое-где в $\mathscr{D}$ определители могут в ноль обращаться

Именно это и подчёркивается словом "тождественно": кое-где - не значит везде.

Остальное уже не успеваю.

[Sonic86]

warlock66613 в сообщении #1151367 писал(а):

wrest в сообщении #1151348 писал(а):

запись например закона Ньютона $F=ma$ это уравнение, равенство или тождество?

Это равенство, которое можно рассматривать как уравнение (а можно и не рассматривать). И я не могу придумать причины называть это тождеством.

Пусть $D$ - множество объектов, для которых выполняются законы механики или нечто им равносильное. $x\in D$, $F(x)$ - результирующая сила, действующая на объект, $m(x)$ - масса $x$, $a(x)$ - ускорение $x$. Тогда $(\forall x\in D)F(x)=m(x)a(x)$. Не вижу причин не назвать это тождеством (по желанию можно еще в параметрах отразить фактор времени).

[warlock66613]

Sonic86, в таком контексте — да, без контекста — нет.

[Munin]

Просто обычно $D$ внятно не определить, и на нём одном рассмотрение не сосредотачивается, а существуют многочисленные $E,F,G,H,\ldots$ - ну, это физика, она другими вопросами занимается...

[Dmitriy40]

Sonic86
Вы очень аккуратно указали множество$D$ (хотя надо бы ещё добавить прямое утверждение об одновременном существовании всех трёх функций: $(\forall x \in D) F(x), m(x), a(x)$), на нём - да, это можно назвать тождеством. Без указания множества $D$ называть это тождеством никак нельзя - функции вообще говоря могут и не существовать.

И с тождеством более-менее понятно, вот с определением равенства интереснее. Ваше предложение

Sonic86 в сообщении #1151313 писал(а):

$(\exists x\in D) A(x)=B(x)$

недостаточно, так как же кванторами записать понятие равенства?

[Munin]

А никак. В равенстве нету кванторов.

[INGELRII]

А что, интересный вопрос, причем ответа на него я, внезапно, не знаю. Вот такие равенства на $\mathbb{R}$ являются тождествами или нет:

$\sqrt{-x^2}=\sqrt{-x^2}$ ?
$\sqrt{-x^2-1}=\sqrt{-x^2-1}$ ?

[Dmitriy40]

INGELRII в сообщении #1151543 писал(а):

$\sqrt{-x^2}=\sqrt{-x^2}$ ?

Думаю да: слева и справа ОДЗ одинаковые и для всех $x$ из него равенство выполняется.

INGELRII в сообщении #1151543 писал(а):

$\sqrt{-x^2-1}=\sqrt{-x^2-1}$ ?

А это нет: не существует ни одного $x$ в ОДЗ (одинаковой, но пустой) ни слева ни справа. Т.е. выполняется (в смысле отсутствия таких $x$) одновременно и $\sqrt{-x^2-1}=\sqrt{-x^2-1}$ и $\sqrt{-x^2-1}\ne\sqrt{-x^2-1}$ и $\sqrt{-x^2-1}=\pi+\sqrt{-x^2-1}$, что тождеством быть ну никак не должно.
Выходит условие для тождества надо дополнять требованием непустоты ОДЗ (если оно не включено автоматом в квантор $\forall$, я просто не знаю этого момента) ...

[arseniiv]

С широко используемым соглашением о том, что атомарная формула, содержащая терм, который в данной интерпретации не определён, получает в ней ложное значение, не тождества. Если, конечно, у нас все кванторы по $\mathbb R$.

[wrest]

INGELRII в сообщении #1151543 писал(а):

Вот такие равенства на $\mathbb{R}$ являются тождествами или нет:

$\sqrt{-x^2}=\sqrt{-x^2}$ ?
$\sqrt{-x^2-1}=\sqrt{-x^2-1}$ ?

Первое является тождеством только в нуле, а не в $\mathbb{R}$, то есть запись
$\sqrt{-0^2}\equiv\sqrt{-0^2}$ является тождеством, т.е. правильно записать $\forall x \in D, D=[0;0], \sqrt{-x^2}\equiv\sqrt{-x^2}$.

[bot]

Dmitriy40 в сообщении #1151554 писал(а):

INGELRII в сообщении #1151543

писал(а):
$\sqrt{-x^2-1}=\sqrt{-x^2-1}$ ? А это нет: не существует ни одного $x$ в ОДЗ (одинаковой, но пустой) ни слева ни справа.

А при чём здесь ОДЗ? И несомненно это тождество по всем правилам формальной логики. Тождество начинается с квантора всеобщности, а если ОДЗ пуста, то на нет и суда нет. Напротив, чтобы опровергнуть тождество, надо указать опровергающий равенство икс. Есть таковой? - Нету.
Вот это $\sqrt{-x^2-1}=\sqrt{-x^2-2}$ - тоже тождество, разумеется, если мы ограничиваемся действительными числами.

[Sonic86]

Dmitriy40 в сообщении #1151531 писал(а):

Sonic86
Вы очень аккуратно указали множество$D$ (хотя надо бы ещё добавить прямое утверждение об одновременном существовании всех трёх функций: $(\forall x \in D) F(x), m(x), a(x)$), на нём - да, это можно назвать тождеством. Без указания множества $D$ называть это тождеством никак нельзя - функции вообще говоря могут и не существовать.

Ну как бы вся физика уехала в $D$, если попытаться выписать $D$ явно, то физика просто пропадет. В рамках матмодели это д.б. тождеством, вне рамок модели - нет. Физика меня тут больше всего смущает - мне там непривычно.
Ну я всего лишь предложил, я не настаиваю.

Dmitriy40 в сообщении #1151531 писал(а):

И с тождеством более-менее понятно, вот с определением равенства интереснее. Ваше предложение

Sonic86 в сообщении #1151313 писал(а):

$(\exists x\in D) A(x)=B(x)$

недостаточно, так как же кванторами записать понятие равенства?

Да, я, пожалуй, загнул. Равенство - это просто формула вида $A=B$ (хотя область $x\in D$, пожалуй, здесь тоже следует указывать). Но тогда равенство - это даже не утверждение, а просто объект, соотношение

Munin в сообщении #1151393 писал(а):

В математике под "уравнением" очень часто понимается объект. Он лежит на столе, никого не трогает, его не обязательно надо решать. Его можно решить. С ним можно ещё что-то сделать. Проанализировать. Включить в систему с другим уравнением. Преобразовать. Мало ли. При этом, задачи тоже могут быть поставлены, но другие.

Если же мы хотим, чтобы это было утверждение, то придется вешать квантор существования. Естественно, отображение $f: A=B \to (\exists x)A=B$ настолько тривиально, что не различается практически нигде.
А, ну и само по себе отношение $=$, конечно, к алгебре предикатов никак не сводится, для него и аксиомы отдельные имеются.

[Dmitriy40]

bot в сообщении #1151568 писал(а):

Вот это $\sqrt{-x^2-1}=\sqrt{-x^2-2}$ - тоже тождество, разумеется, если мы ограничиваемся действительными числами.

Это мне не нравится. Неужели в математике действительно допустимы такие "тождества"?! И тождеством называются не только верные равенства, но и любой бред - если его нельзя опровергнуть контрпримером?

[warlock66613]

Я продолжаю настаивать, что понятие "тождество" неформальное и попытки придать ему строгий смысл любопытны, но не более. Иначе говоря, нельзя понять, что такое "тождество", но можно обучиться правильно его употреблять, используя имеющиеся случаи употребления в качестве примеров. И конечно в каждом отдельном случае можно дать строгий эквивалент этого выражения.