Объясните смысл дифференциала как такового

[Munin]

arseniiv в сообщении #1152177 писал(а):

это производная Радона—Никодима, если мера $m$ абсолютно непрерывна относительно меры $V$.

Сумеете объяснить это школьнику 9 класса?

[arseniiv]

Не знаю. Я подумал, речь в общем случае.

[Ruben]

Munin в сообщении #1152174 писал(а):

Правда, они не могут объяснить, что значит формула $dm=\rho\,dV,$ потому что никакой функции там вообще в помине нет, но разве это их смущает?

Потому что формула написана на "физическом жаргоне". IMHO, c точки зрения математики это не пойми что и, видимо, поэтому и объяснить не могут.

[Munin]

Ruben в сообщении #1152323 писал(а):

Потому что формула написана на "физическом жаргоне".

Вот именно. И нелепо смотрятся претензии математиков указывать физикам, что в этом жаргоне правильно / неправильно и что значит.

[Ruben]

Munin в сообщении #1152327 писал(а):

И нелепо смотрятся претензии математиков указывать физикам, что в этом жаргоне правильно / неправильно и что значит.

Совершенно верно! Но, в то же время, неосмотрительным смотрится и нежелание физиков с первых же занятий сократить расстояние между этими науками. Если физику читают конструкторам - ради бога! Но физику или инженеру-физику ВСЁ РАВНО придется сталкиваться вплотную с описанием физических законов в математике, причем, придуманной математиками, а не физиками. И работать с этими самыми математиками. Или не придется?

[epros]

Ruben в сообщении #1152323 писал(а):

IMHO, c точки зрения математики это не пойми что и, видимо, поэтому и объяснить не могут

Честно говоря, не вижу в этом выражении ничего такого уж непостижимого с точки зрения математики. И уж точно $dV$ там - никакой не "бесконечно малый" объём. Даже не просто малый, потому что тогда написали бы $\Delta V$ и поставили бы знак приближенного равенства.

[Ruben]

epros в сообщении #1152345 писал(а):

И уж точно $dV$ там - никакой не "бесконечно малый" объём. Даже не просто малый, потому что тогда написали бы $\Delta V$ и поставили бы знак приближенного равенства.

Ну вот, а хороший тон читать как "бесконечно малый". Так как какие угодно $dV$ нам в этой задаче просто ненужны.

[Mihr]

Ruben в сообщении #1152332 писал(а):

Но физику или инженеру-физику ВСЁ РАВНО придется сталкиваться вплотную с описанием физических законов в математике, причем, придуманной математиками, а не физиками.

Не такая уж это проблема. Физик всё равно освоит математику на должном уровне. Попозже. Мне кажется, для будущего физика порой целесообразен именно такой подход: сначала он осваивает физический жаргон и начинает решать задачи, пользуясь этим жаргоном, затем уже переходит на более строгий, более научный язык. Конечно, возводить в принцип подобный "метод" вовсе не обязательно. Но в случае с составлением и решением дифуравнений по текстам физических задач он вполне удачен. Имхо.

[svv]

По моим наблюдениям, многие «физические» уравнения с дифференциалами, шокирующие математиков, — это просто такая удобная для физиков запись уравнений с производными или интегралами.
Например, $dm=\rho\,dV$, очевидно, происходит из $\int dm=\int \rho\,dV$.
Ещё пример.

[Munin]

Ruben в сообщении #1152332 писал(а):

Но, в то же время, неосмотрительным смотрится и нежелание физиков с первых же занятий сократить расстояние между этими науками.

Извините, я - за сократить расстояние. Это нежелание математиков странно смотрится.

Причём даже не всех математиков, а отдельных. Типа epros. (Я даже не уверен в том, какой он математик. Например, смог бы он сам ответить мне про производную Радона-Никодима.)

Ruben в сообщении #1152332 писал(а):

Но физику или инженеру-физику ВСЁ РАВНО придется сталкиваться вплотную с описанием физических законов в математике, причем, придуманной математиками, а не физиками.

Поправка: ему придётся сталкиваться с математическим описанием физических законов в физике. Причём, придуманным физиками. Об этом часто забывают: многая математика, используемая в физике, создавалась людьми, одновременно и математиками и физиками (куча имён: Ньютон, Эйлер, Гаусс, ... Стокс, Хевисайд). И тот смысл, который они вкладывали в эти выражения, намного лучше передаётся в современных физических изложениях, и намного хуже - в современных математических. Математика далеко ушла от первоначального понимания. Причём в основном в 20 веке.

Ruben в сообщении #1152332 писал(а):

И работать с этими самыми математиками. Или не придется?

Тут тоже есть тонкость: физику намного больше придётся работать с физиками. И ещё с инженерами. Изо всего этого объёма совместной работы - работа с математиками занимает считанные проценты, если вообще случается.

Mihr в сообщении #1152361 писал(а):

Физик всё равно освоит математику на должном уровне.

Именно что на должном.