Объясните смысл дифференциала как такового

[Ruben]

Mihr в сообщении #1151126 писал(а):

Для того, чтобы составить дифуравнение по тексту физической задачи, требуется, по-моему, именно такое представление о дифференциале, какое я попытался изложить.

Когда физическая модель предполагает предельный переход - да. Например, все задачи на определенный интеграл (найти массу стержня) или задачи на составление уравнение движения, например. Тогда приращение и дифференциал имеют не только один порядок малости, но и просто равны друг другу. Иначе, запись $\Delta f(x) = \mathrm{d} f(x) $ для непрерывного $f(x)$ автоматом означает $\Delta x \to 0$. Но все ли задачи по физике предполагают предельный переход? Как на счет задач, в которых функцию раскладывают в ряд Тейлора по степеням? Тогда

$$\Delta x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {\mathrm{d}^n f(x)}{n!}$$

И во всех ли задачах по физике мы отбрасываем нелинейные члены ? Вам с Munin-ом хорошо - вы учили анализ по учебникам, в которых физика говорит языком математики. А теперь с высоты своих лет предлагаете бетта-версию.

Цитата:

Впрочем, возможно, Вы ответите на вопрос ТС более удачно. Пожалуйста, предложите свой вариант ответа.

Нет, пока не буду - тут ссылок накидали и там люди поумнее меня столько всего уже сказали на эту тему.. Лучше их почитаю )))

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ruben в сообщении #1151202 писал(а):

бетта-версию

В смысле, better версию? Иронично.

[Munin]

Metford в сообщении #1151196 писал(а):

Всегда был против такого рода раздвоения: вот тут думать так, а здесь - эдак.

Конечно, это раздвоение временное. Но на каком-то этапе обучения вынужденное. Потому что физическая программа обгоняет математическую очень далеко.

Metford в сообщении #1151196 писал(а):

Ничем бы мне не помешало, если бы тогда же, на первом курсе, было внятно и громко сказано то, что приведено в цитате Ruben.

Не факт. Может быть, именно тогда, на первом курсе, это бы вас сбило с толку и замедлило обучение. Тут вопрос тонкий. Динамический, а не статический.

[Mihr]

Brukvalub в сообщении #1151193 писал(а):

Понятно, что это не определение производной. Тем не менее, разве это неверно?

Metford, моя формулировка отнюдь не претендует на то, чтобы заменить настоящее определение дифференциала - боже упаси! Говорю ещё раз: я считаю такое представление о дифференциале полезным именно для обучения решению физических задач. На большее не претендую. Попробуйте объяснить первокурснику (будущему физику или "технарю", но не математику), что для составления ДУ он должен оперировать с главной (линейной) частью приращения функции, которая называется дифференциалом... Мне почему-то кажется, что девять первокурсников из десяти просто не поймут, о чём речь.
Бывает, что для того чтобы освоиться с понятием, полезно не цепляться за его определение, а оперировать с ним, опираясь на полуинтуитивные представления. А после того, как начнёшь работать с ним уверенно, вернуться к его определению и ещё раз уточнить для себя его смысл. Это путь "зигзагообразный", но случается не так уж редко, что именно он быстрее всего ведёт к пониманию и первоначальному освоению темы. Имхо.

Ruben в сообщении #1151202 писал(а):

А теперь с высоты своих лет предлагаете бетта-версию.

Плохо понял, что Вы хотите сказать. На всякий случай замечу: я предлагаю такое представление о дифференциале, которое мне самому в пору первоначального знакомства с ним показалось наиболее удобным. И по-моему, после того, как я научился с ним работать, привыкание к настоящему определению дифференциала не вызвало каких-либо трудностей. То же, кстати, относится и к моим однокурсникам: обычно мы делились друг с другом своим пониманием новых терминов.

[Munin]

Ruben в сообщении #1151202 писал(а):

Но все ли задачи по физике предполагают предельный переход? Как на счет задач, в которых функцию раскладывают в ряд Тейлора по степеням?

Если быть честным, то скорее наоборот: все задачи по физике предполагают ряд Тейлора. И "дифференциалом" называется слагаемое первого порядка в этом ряде. А "малой величиной" - весь хвост после 0-го порядка. Но чтобы дойти до ряда Тейлора, надо ещё похромать.

И ещё подчеркну:

Munin в сообщении #387069 писал(а):

Бывает "в физике в реальности" и "в физике в матмодели". Причём в физике в реальности дифференциалов нет вообще. Там есть амперметры, спектрометры, усилители, ПЗС, и т. п. Ни один из них "дифференциала" не измеряет (разность измерять могут).

-- 14.09.2016 22:54:53 --

А как насчёт всем передохнуть, и подождать, что скажет ТС?

[Metford]

Mihr в сообщении #1151211 писал(а):

Говорю ещё раз: я считаю такое представление о дифференциале полезным именно для обучения решению физических задач. На большее не претендую.

Я Вас понял. Моё замечание сводится к тому, что просто нужно лишний раз прочитать определение полностью, ничего не отбрасывая. А пользоваться - как обычно.

Mihr в сообщении #1151211 писал(а):

Попробуйте объяснить первокурснику (будущему физику или "технарю", но не математику), что для составления ДУ он должен оперировать с главной (линейной) частью приращения функции, которая называется дифференциалом... Мне почему-то кажется, что девять первокурсников из десяти просто не поймут, о чём речь.

Первокурснику не пробовал. Грамотные второкурсники понимали.

Munin, вопрос, действительно, тонкий. И может быть, как обычно, задним числом говорить проще. Но тут ведь дело какое: во-первых, есть по-настоящему сильные разрывы между физической и математической программами - например, та же работа (которая по-хорошему есть криволинейный интеграл; мы его проходили на третьем семестре, а на физике, как Вы понимаете, практически сразу). Дифференциал вводится довольно быстро. Я отнюдь не сторонник тех, кто сразу бы начинал навешивать первокурсникам про касательные пространства. Но в данном конкретном случае не было бы ничего страшного при прояснении одной детали, но детали важной. Тем более, что математики не произносят эту злосчастную фразу, по поводу которой копья ломаются - её говорят физики. Так как воспринимается она проще, то так и создаётся ложное впечатление. А развеять его можно парой формул и одной картинкой.
Но назад уже не отыграешь - не проверишь. Главное - чтобы в какой-то момент в голове сложилась правильная картина.

(Оффтоп)

Кстати, была тема о двусмысленностях в терминологии. Сейчас вспомнилось: часто коллеги-физики совершенно не различают "функцию распределения" и "плотность распределения" в речи. Сами, конечно, они всё правильно понимают, но терминология страдает, и у студентов иногда возникает недопонимание, когда математики на теории вероятностей начинают говорить вроде примерно то же, но как-то не так.

Отдохнуть можно. Я, наверное, вообще сказал всё, что собирался

[Mihr]

Metford в сообщении #1151215 писал(а):

Сейчас вспомнилось: часто коллеги-физики совершенно не различают "функцию распределения" и "плотность распределения" в речи.

На всякий случай напомню: плотность распределения называется ещё дифференциальной функцией распределения. А "обычная" функция распределения в этом случае зовётся интегральной функцией распределения. Так что существенной ошибки в употреблении терминов я здесь не вижу.

[Anton_Peplov]

Metford в сообщении #1151196 писал(а):

Ничем бы мне не помешало, если бы тогда же, на первом курсе, было внятно и громко сказано то, что приведено в цитате Ruben. Причём сказано именно физиками да с пояснением, почему в физике так дифференциал обычно не воспринимают.

Даже если принять за посылку, что это не помешало бы лично Вам, из этого не следует, что это не помешает кому-то другому. Личный опыт такой личный.
Поделюсь своим. У меня мышление отчетливо математическое, оно застревает на нестрогих формулировках. И в текстах по физике, которые я пытался читать до того, как законспектировал Ильина-Позняка, мне очень мешал подход "дифференциал - это малое приращение", потому что в математике не бывает таких формулировок, а дифференциал - математическое понятие. Потом я прочел матан и понял математическую сторону вопроса, но в том, как в физике уравнение для малых приращений превращается в дифур, а после его интегрирования получается работающий закон, мне по-прежнему чудится какая-то эльфийская магия, и, чует мое сердце, какую-нибудь тему в ПРР я про это еще создам. Но это, опять-таки, статистически не значимый личный опыт.

Это я к чему? Если мы пытаемся объяснить лично ТС, что такое дифференциал, то без обратной связи с ТС выяснять, кто более ку лучше объяснил, бессмысленно. А если мы обсуждаем, как надо на лекциях для студентов-физиков объяснять, что такое дифференциал, то тут надо ссылаться не на личный опыт изучения, а на опыт преподавания, желательно многолетний.

[Metford]

Anton_Peplov в сообщении #1151243 писал(а):

Даже если принять за посылку, что это не помешало бы лично Вам, из этого не следует, что это не помешает кому-то другому.

Хм. Забавно, когда предложение внятно произносить определение встречает такое сопротивление.
Ладно. Обсуждайте дальше без меня. У меня многолетнего опыта нет, а простой - не в счёт, как видно. Dixi.

[vpb]

Есть книжка Зельдовича "Высшая математика для начинающих физиков и техников". Очень полезно.

[Munin]

Metford в сообщении #1151215 писал(а):

есть по-настоящему сильные разрывы между физической и математической программами

post871017.html#p871017

[Brukvalub]

Mihr в сообщении #1151211 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1151193

писал(а):

Понятно, что это не определение производной. Тем не менее, разве это неверно?

Чтобы это стало верным, нужно, как минимум, уточнить, о каких именно дифференциалах идет речь..

[epros]

tremor в сообщении #1151109 писал(а):

это линейная часть приращения

Это совершенно исчерпывающее определение первого дифференциала. Что Вам в этом не понравилось?

"Приращение" функции $g$ - это $\Delta g = g(\vec{x_0} + \Delta \vec{x}) - g(\vec{x_0})$, если разложить его на сумму линейной и нелинейной частей, то получим: $\Delta g = (\vec{a}, \Delta \vec{x}) + o(\Delta \vec{x})$. Здесь первое слагаемое и есть тот самый первый дифференциал (второе же слагаемое - это некая нелинейная функция от $\Delta \vec{x}$). А то, что $\vec{a}$ - это производная, или, например, градиент - это уже "тема следующей лекции".

Про "бесконечную малость" дифференциала лучше вообще не говорить, ибо это не вполне грамотно. И никакая "физическая" точка зрения тому не оправдание.

[Munin]

epros в сообщении #1152144 писал(а):

И никакая "физическая" точка зрения тому не оправдание.

Математики такие математики... Правда, они не могут объяснить, что значит формула $dm=\rho\,dV,$ потому что никакой функции там вообще в помине нет, но разве это их смущает?

-- 18.09.2016 13:40:54 --

(Оффтоп)

Справедливости ради, один математик мне грамотно объяснил, что значит одна половина этой формулы.

[arseniiv]

Не знаю как с этой, но в формуле $\rho = \frac{dm}{dV}$ это производная Радона—Никодима, если мера $m$ абсолютно непрерывна относительно меры $V$. Вашу запись можно, например, считать просто расслабленным состоянием этой.

Чем будет запись, если $m$ не абсолютно непрерывна относительно $V$, не в курсе, но какое-то обобщение, чтобы $\rho$ могла быть обобщённой функцией и отражать какие-нибудь точечные массы (ну и, для полноты, про сингулярные распределения массы не слышал, но было бы тоже интересно), наверняка должно быть.