Чем отличается тождество от равенства

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1151554 писал(а):

А это нет: не существует ни одного $x$ в ОДЗ (одинаковой, но пустой) ни слева ни справа.

В математике более принято другое соглашение: если множество пустое, то любые утверждения, сформулированные для всех его элементов, истинны. Так удобней для общей формулировки многих утверждений. Так что, тождество (речь об $\mathbb{R}$).

Sonic86 в сообщении #1151569 писал(а):

Если же мы хотим, чтобы это было утверждение, то придется вешать квантор существования.

Нет, ну зачем сущестования? У вас путаница с кванторами.

Вешать надо другое - утверждение истинности данного соотношения. Вот за этим надо следить внимательно, не везде это аккуратно проговаривается явно. Типичные ситуации, встречающиеся в физико-математических текстах, примерно такие:
- мы можем рассматривать $A=B$ безотносительно к его истинности (например, его синтаксическую структуру или ОДЗ);
- мы можем рассматривать $A=B$ как где-то истинное, где-то ложное;
- мы можем выдвинуть предположение, что $A=B$ истинно;
- мы можем быть в процессе доказательства $A=B$;
- мы можем доказать $A=B,$ после чего опираться на него как на истинное;
- мы можем сказать, что $A=B$ истинно, но недоказуемо...

Dmitriy40 в сообщении #1151577 писал(а):

И тождеством называются не только верные равенства, но и любой бред - если его нельзя опровергнуть контрпримером?

Это не бред. Здесь выражения тщательно подобраны, чтобы не иметь допустимых значений нигде в $\mahbb{R}.$

Думаю, вы протестуете, потому что недостаточно разобрались с импликацией, особенно с примером "Если $\mathit{2\cdot 2=5,}$ то существуют ведьмы". По сути, здесь утверждение той же структуры: "если мы где-то сможем вычислить правую часть, и сможем вычислить левую часть, то они окажутся равны".

[arseniiv]

wrest в сообщении #1151562 писал(а):

$\forall x \in D, D=[0;0], \sqrt{-x^2}\equiv\sqrt{-x^2}$

Как длинно. $\forall x\in\{0\}\ldots$, и хватит с него.

[wrest]

Munin
Страница сменилась и теперь вы вероятно забудете о вопросе, хотел бы напомнить:

wrest в сообщении #1151427 писал(а):

Заодно, прокомментируете почему Фихтенгольц немного выше, в конце пункта 215, пишет "продифференцируем это тождество по каждой из переменных" ... "мы получим ряд тождеств" а ниже, через 3 страницы в пункте 216, пишет "продифференцируем уравнения" ... "мы получим равенства"?

Случайно ли тут то, что дифференцирование тождеств дает тождества, а дифференцирование уравнений -- равенства, и что тогда дает дифференцирование равенств?

[Sonic86]

wrest в сообщении #1151603 писал(а):

Случайно ли тут то, что дифференцирование тождеств дает тождества, а дифференцирование уравнений -- равенства, и что тогда дает дифференцирование равенств?

Ну я же дал Вам аппарат.
$X$ - тождество, значит $X\equiv .
Дифференцирование тождества $X'\equiv - получаем утверждение вида $(\forall x \in E)F(x)=G(x)$, т.е. тоже тождество.
Таким образом, дифференцирование тождества дает тождество, ч т.д.
(правда, если $X$ - тождество в точке, то $X'$ - тождество в $\varnothing$, т.е. уже как бы и не тождество, но там наверняка $D$ - это область, так что $\mathrm{Int}D=D$ )

2. Уравнение является равенством. Дифференцирование равенства дает ..., значит ... Ч.т.д.
Ну нельзя же такие вопросы в универе задавать

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #1151585 писал(а):

Я продолжаю настаивать, что понятие "тождество" неформальное и попытки придать ему строгий смысл любопытны, но не более.

Нафиг так жить-то?
Да ну, давайте выкинем всю эту фейлософию на помойку. Это нами изобретенные слова, им не соответствуют никакие реальные предметы. Значит как хотим, так и делаем, никакая интуиция не м.б. нам помехой, только логика. Захотели - определили так, чтобы было ясно и понятно. Не вижу никаких проблем.

[wrest]

Sonic86 в сообщении #1151610 писал(а):

Уравнение является равенством. Дифференцирование равенства дает ..., значит ...

То есть, можно было бы сказать и "дифференцируем уравнения"...."получаем уравнения", а также "дифференцируем равенства" ... "получаем равенства", и Фихтенгольц, вероятно, просто не хочет употреблять одно и тоже слово из эстетических соображений?

[Munin]

wrest в сообщении #1151603 писал(а):

Страница сменилась и теперь вы вероятно забудете о вопросе, хотел бы напомнить

Я хотел бы переадресовать вопрос кому-нибудь другому. Лень перечитывать Фихтенгольца.

[wrest]

Munin в сообщении #1151619 писал(а):

Я хотел бы переадресовать вопрос кому-нибудь другому. Лень перечитывать Фихтенгольца.

Вопрос не имеет отношения конкретно к Фихтенгольцу, а только к употреблению терминологии, но все равно спасибо.

[Munin]

Мне кажется, ваш вопрос надуман, а Фихтенгольц особо глубокого смысла не вкладывал. Но разбираться надо в конкретном месте текста, с учётом контекста, и на это меня не тянет.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1151623 писал(а):

Мне кажется, ваш вопрос надуман

Munin в сообщении #1151623 писал(а):

Но разбираться надо в конкретном месте текста, с учётом контекста

++

Математическое словоупотребление никогда не претендовало на контекстонезависимость. Мы можем формализовать кое-что (больше, чем просто доказательства — в принципе, можно формализовать мотивации понятий и всё такое прочее), но из-за того что мы люди, нам удобнее общаться вот так. И научиться устоявшимся шаблонам словоупотребления потому нам вполне возможно на его примерах без дистилляции каких-то точных правил.

[Dmitriy40]

Munin в сообщении #1151595 писал(а):

Думаю, вы протестуете, потому что недостаточно разобрались с импликацией, особенно с примером "Если $\mathit{2\cdot 2=5,}$ то существуют ведьмы".

Да, Вы правы, как только упомянули про импликацию из ложной посылки, до меня дошло что собака порылась именно здесь (выше мне буквально шага не хватило до понимания т.к. убегал по делам).

Munin в сообщении #1151595 писал(а):

В математике более принято другое соглашение: если множество пустое, то любые утверждения, сформулированные для всех его элементов, истинны.

Спасибо! Теперь и причина понятна.

[epros]

wrest в сообщении #1151280 писал(а):

Поясните пожалуйста различие терминов "тождество" и "равенство".
В чем отличие между "а равно b" и "а тождественно равно b".

Забавные терминологические выкрутасы. Я бы сказал, что это похоже на вопрос о различиях между круглым и зелёным. Правильнее, наверное, было бы спросить про различия между уравнением и тождеством. И эти различия очевидны: Уравнение - это формула, образованная подстановкой двух термов в качестве атрибутов бинарного отношения равенства, а тождество - это уравнение, истинное при любых значениях переменных. Как видите, слово "равенство" здесь тоже звучит и из контекста его употребления видно, что равенство - это бинарное отношение. Разумеется, не всякое бинарное отношение является равенством. Обычно считается, что оно должно удовлетворять аксиомам эквивалентности (рефлексивность, симметричность,транзитивность) плюс схеме "свойства равных объектов совпадают": $\forall x,y ~ (x=y) \to (\varphi(x) \leftrightarrow \varphi(y))$.

[arseniiv]

epros
Как будто вы не слышали, как сами формулы, которые вы назвали уравнениями, зовут и равенствами. А не только символ $=$.

Вообще, как тут уже писали, «уравнение» — это явно не свойство формулы самой по себе, а зависит от контекста. Обычно из уравнения надо что-то найти.

[epros]

arseniiv в сообщении #1152161 писал(а):

Как будто вы не слышали, как сами формулы, которые вы назвали уравнениями, зовут и равенствами. А не только символ $=$

Поскольку эта тема чисто терминологическая, я полагаю правильным обратить внимание на то, что именно из этой вольности речи проистекает множество недоразумений. Большого криминала в том, чтобы называть уравнения равенствами, конечно, нет. Однако всё же лучше держать в голове, что равенство - это отношение, а уравнением оно становится только после того, как в качестве аргументов что-то подставлено.

arseniiv в сообщении #1152161 писал(а):

«уравнение» — это явно не свойство формулы самой по себе, а зависит от контекста. Обычно из уравнения надо что-то найти

А я вот полагаю, что уравнение - это как раз "формула сама по себе", независимо от того, какая у нас стоит задача в отношении него - найти какое-либо частное решение, найти общее решение, найти специфический подкласс решений, доказать отсутствие решений либо что-то ещё.

[warlock66613]

epros в сообщении #1152225 писал(а):

какая у нас стоит задача в отношении него - найти какое-либо частное решение, найти общее решение, найти специфический подкласс решений, доказать отсутствие решений либо что-то ещё

Вот видите, называя произвольное равенство уравнением, вы явно склоняетесь к тому, что должно быть какое-то решения или решения, с которыми надо что-то сделать. И, более того, вы явно сказали, что "стоит задача". Тем самым вы подтверждаете, что пока не поставлена задача, говорить об каком бы то ни было уравнении некорректно.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1152231 писал(а):

Тем самым вы подтверждаете, что пока не поставлена задача, говорить об каком бы то ни было уравнении некорректно

Я почти свихнул себе мозг, пытаясь понять, каким образом я это подтверждаю. По-моему, я сказал ровно противоположную вещь: Всё, что записывается формулой из двух термов, между которыми поставлен знак $=$, является уравнением. Независимо от поставленной нам в отношении этой формулы задачи.

Про то, что называние оной формулы "равенством" является не совсем удачной вольностью речи, я тоже выше сказал. Равенство - это всё-таки более абстрактное понятие, чем "некая формула со знаком $=$".